Si la aplicación de un campo eléctrico ℰ es capaz de poder “romper la degeneración” que hay en los niveles energéticos de un sistema con niveles energéticos degenerados, como ya se vió al tratar el tema del efecto Stark en entradas previas, anticipamos que debería ser posible esperar un efecto similar con la aplicación no de un campo eléctrico sino de un campo magnético. Y en efecto, tal cosa es lo que sucede, y no solo sucede sino que el efecto es mucho más pronunciado que el que normalmente se obtiene con la aplicación de un campo eléctrico. Ésta es la razón por la cual tal efecto fue descubierto en 1896 mucho antes que el efecto Stark (el cual fue descubierto hasta 1913), y hoy se le conoce como el efecto Zeeman en honor a su descubridor Pieter Zeeman. Es importante notar que tal desdoblamiento en las líneas espectrales a causa de la aplicación de un campo magnético ya había sido predicho teóricamente por el notable físico holandés Hendrik Antoon Lorentz basándose en argumentos puramente clásicos sin el beneficio de las herramientas de la Mecánica Cuántica que todavía no nacía, y fue precisamente ésta predicción la que le valió a Lorentz el Premio Nóbel de Física junto con su alumno Pieter Zeeman.
Es necesario distinguir entre dos efectos Zeeman diferentes, el efecto Zeeman clásico, mejor conocido como el efecto Zeeman normal, y el efecto Zeeman anómalo. cuya explicación solo puede ser dada por la Mecánica Cuántica. Empezaremos con la explicación del efecto Zeeman normal, el cual precedió históricamente al efecto Zeeman anómalo.
El efecto Zeeman clásico depende de un sistema basado en el modelo atómico de Rutherford (en el cual los niveles energéticos del electrón o electrones en órbita no están cuantizados) interactuando con una onda electromagnética clásica, nada cuantizada, todo clásico y nada discretizado, con el electrón del átomo interactuando con el campo magnético que es aplicado a la muestra además de la radiación electromagnética con la cual se producirá el espectro de emisión (o de absorción).
Sin tener ningún conocimiento de la estructura interna del átomo, es posible calcular clásicamente el valor de la variación de la frecuencia producida por la acción de un campo magnético B sobre una carga oscilante. De hecho la observación del desdoblamiento de una raya espectral en tres rayas espectrales por la acción de un campo magnético, una de frecuencia superior, otra de frecuencia inferior, y otra sin variación, sirvió para proporcionar una de las estimaciones iniciales de la relación carga-masa del electrón. Aunque el cálculo clásico está de acuerdo con los resultados experimentales en muchos casos, resulta más normal encontrar que una raya se divida en más de tres componentes, de modo tal que al ocurrir ese tipo de desdoblamiento múltiple ninguno de los desplazamientos de frecuencia coincide con el cálculo clásico.
La clave del análisis clásico consiste en usar como modelo del electrón en el átomo al oscilador armónico simple de movimiento periódico unidimensional. ¿Pero en qué nos podemos basar para justificar tal equiparación? De buenas a primeras la equiparación no se antoja posible porque usualmente visualizamos al oscilador armónico simple clásico como una masa m conectada a un resorte que se mueve de un lado a otro sobre un solo eje, sobre una sola coordenada, con ecuación diferencial de movimiento:
mientras que al electrón en el modelo de Rutherford (que fue el que utilizó Lorentz) lo imaginamos en una órbita circular moviéndose no sobre una sola coordenada sino en un plano especificado por dos coordenadas. El dilema se disuelve si suponemos que el electrón está sujeto no a un movimiento a lo largo de una sola coordenada rebotando periódicamente de extremo a extremo sino a un movimiento en un plano en donde tanto la coordenada-x como la coordenada-y de manera independiente llevan a cabo un movimiento periódico oscilatorio descrito en cada eje por una ecuación como la del oscilador armónico simple. En pocas palabras, estamos considerando un movimiento armónico simple bidimensional en el cual el electrón encaja dentro de una órbita circular sin ningún problema:
De éste modo, hay dos movimientos oscilatorios independientes: el que se lleva a cabo de izquierda a derecha sobre el eje-x, y el que se lleva a cabo de arriba hacia abajo sobre el eje-y. Por lo mismo, hay dos ecuaciones diferenciales de movimiento, una para el eje-x y otra para el eje-y. La ecuación diferencial para el movimiento a lo largo del eje-y será:
Por simplicidad, y para una línea espectral de cierta frecuencia fija ω0, suponemos que para todos los átomos de la muestra la constante k del “resorte” es la misma, no hay justificación para suponer lo contrario, produciendo una solución matemática propia de un movimiento periódico sinusoidal como lo muestra el siguiente gráfico animado:
Ahora bien, en una muestra de laboratorio, de preferencia en estado gasesoso, sin importar desde qué ángulo observemos al conjunto de átomos, podemos tener la certeza de que, en promedio, en la mitad de los átomos veremos al electrón moviendose en una trayectoria circular en el sentido de las manecillas de un reloj mecánico, y y en la otra mitad de la muestra los electrones se estarán moviendo en sentido contrario a las manecillas del reloj, llevando a cabo trayectorias circulares en movimientos opuestos:
Si sumamos las proyecciones vectoriales de las velocidades tangenciales de cada electrón sobre el eje X-X', descubriremos que la suma de ambas proyecciones equivale ni más ni menos al movimiento de un oscilador armónico simple en el cual la partícula equivalente se mueve en forma periódica de arriba hacia abajo y de abajo hacia arriba:
No es necesario llevar a cabo ningún análisis matemático riguroso para darse cuenta de la equivalencia del modelo de los dos electrones atómicos moviéndose en sentidos opuestos al desplazamiento del oscilador armónico simple unidimensional.
Aclarado lo anterior, considérese una carga puntual e que está oscilando (moviéndose en una trayectoria circular continua en un ciclo repetitivo e interminable) sobre un plano que contiene un eje que es el eje-x. De acuerdo con la física clásica, la carga radiará energía electromagnética y la frecuencia de la luz emitida será igual a la frecuencia del movimiento circular. Como hemos visto arriba, el movimiento de la carga puede expresarse como una superposición de dos movimientos circulares en un plano que contiene el eje-x, uno en el sentido de las agujas del reloj y otro en el sentido contrario. Ambos movimientos circulares están en fase y tienen un radio R igual a la mitad de la amplitud de la oscilación, como se ve en la siguiente figura en la cual se supone que aún no ha sido aplicado campo magnético alguno:
En el caso del movimiento circular, la velocidad tangencial de la partícula está relacionada de la siguiente manera con la frecuencia angular ω del movimiento circular (frecuencia angular que consideraremos como la frecuencia natural del sistema en ausencia de perturbación alguna):
La fuerza centrípeta Fe requerida para enlazar al electrón al átomo manteniéndolo en su órbita circular está dada por:
Ahora bien, supóngase que se aplica un campo magnético B a lo anterior que sea perpendicular al plano de la circunferencia (el campo magnético se muestra con la cola de las flechas rojas entrando hacia adentro del plano del monitor, o sea perpendicular al plano del movimiento circular de los electrones):
Por la interacción clásica de la carga del electrón con éste campo magnético, ello será la causa de la aparición de una fuerza adicional FB dada (en el sistema de unidades MKS-SI) por la expresión de Lorentz:
La presencia de ésta fuerza adicional es la razón por la cual la frecuencia ω del giro en torno al átomo en una de las circunferencias aumenta mientras disminuye en la otra, al sumarse directamente (apuntando hacia el centro de la órbita) a la fuerza de enlace en un caso, y restarse (apuntando radialmente hacia afuera del centro de la órbita) cuando el giro es en el sentido contrario. Como una simplificación basada en el hecho de que las variaciones son pequeñas incluso para la gran mayoría de los campos magnéticos que se pueden producir en el laboratorio, podemos suponer que el radio R no varía, lo cual tomando diferenciales nos permite hacer la siguiente aproximación en relación a la fuerza de enlace proporcionada por la fuerza centrípeta:
Tras esto, y utilizando:
se obtiene:
Obsérvese que si se aplica a la muestra un campo magnético B de magnitud conocida y se mide la separación Δω que ocurre entre las líneas espectrales que se desdoblan, se puede calcular de inmediato la razón e/m de la carga del electrón a su masa. Si el campo magnético B es aplicado paralelo al plano de las órbitas, entonces de acuerdo a la regla de la mano derecha aplicada al producto vectorial cruz v×B en la ley de Lorentz no habrá una fuerza efectiva de origen magnético sobre ninguno de los dos electrones (esto es fácil de comprobar en la figura de arriba apuntando con el dedo índice hacia el interior de la página o el monitor de computadora) y por lo tanto no existirá desplazamiento alguno de frecuencias y la única frecuencia que se observa en un espectrograma es la frecuencia original de oscilación que persista. Pero si el campo magnético B es aplicado perpendicular al plano de las órbitas, entonces para cada electrón dependiendo de su sentido de rotación habrá un aumento Δω o una disminución Δω de frecuencia, presentándose como un desdoblamiento de las líneas espectrales. Nosotros, desde luego, no tenemos forma de saber de antemano cómo estará orientado el plano de oscilación de cada órbita de cada electrón de la muestra, pero lo que sí podemos hacer es poner el espectógrafo en dos posiciones distintas, una paralela a la dirección en la cual se aplica el campo magnético B, y la otra perpendicular a la dirección del campo magnético, y si en una posición no detectamos desdoblamiento de líneas espectrales pero sí lo detectamos en la otra posición, entonces tenemos confirmado un efecto Zeeman. Éste es el efecto Zeeman clásico, o efecto Zeeman normal.
Lo anterior es lo que vemos en el dominio tiempo. Pero si con análisis de Fourier convencional hacemos la transformación matemática del dominio tiempo t al dominio frecuencia ω (véase la entrada “El análisis de Fourier” que forma parte de esta obra), entonces la aparente complejidad se esfuma y vemos (en el ejemplo que se acaba de dar) dos líneas verticales que corresponden a las dos frecuencias distintas que juntas dan el movimiento resultante.
En la derivación clásica del efecto Zeeman llevada a cabo por el físico holandés Lorentz, se supone que el electrón girando sobre su propio eje se constituye a sí mismo en un pequeño electroimán que al comportarse como un dipolo magnético (con un polo Norte y un polo Sur) tiende a alinearse con un campo magnético externo B al igual que como lo hace la aguja imantada de una brújula con el campo magnético de la Tierra, igual que como lo hace un dipolo eléctrico cuando se le somete a la acción de un campo eléctrico E:
Al electrón atrapado en órbita en torno al núcleo del átomo se le supone que constituye un sistema natural con una frecuencia natural de resonancia ω0 ...
La teoría clásica, sin tomar en cuenta efectos cuántico alguno en el átomo, predice una observación de líneas espectrales que depende de la orientación que el observador tome con respecto a la dirección de las líneas de flujo del campo magnético que se le está aplicando a la muestra, ya sea cuando la observación es perpendicular al campo magnético:
o cuando la observación se hace mirando en una dirección que es paralela a la dirección de las líneas de flujo del campo magnético:
PROBLEMA: (1) Calcúlese el desdoblamiento energético que se puede esperar en un efecto Zeeman normal (clásico) bajo la aplicación de un campo magnético de 4,000 Gauss (40 Teslas). (2) Calcúlese el desdoblamiento Δλ esperado bajo éste campo magnético en la longitud de onda λ.=.5,791.Å del singulete del mercurio.
(1) Haciendo uso de la fórmula que nos dá la separación energética ocasionada por el efecto Zeeman normal (clásico), se tiene entonces que el desdoblamiento energético ΔE para el campo magnético indicado debe ser:
(2) La siguiente derivación es lo suficientemente sencilla como para asentarla sin tener que dar mayores explicaciones al respecto:
Para ésta segunda parte del problema también nos resulta más cómodo hacer uso de otra constante física útil que permite ahorrarnos el trabajo de tener que andar haciendo engorrosas manipulaciones dimensionales según el sistema de unidades que se esté empleando. La constante física es la siguiente:
Empleando valores en la relación obtenida arriba (prescindiremos del signo matemático) se tiene:
Años después de la explicación teórica dada por el físico holandés Lorentz a su predicción del desdoblamiento de líneas espectrales bajo la aplicación de un campo magnético, una predicción confirmada con los resultado experimentales por su alumno Zeeman, la Mecánica Cuántica empezó a tomar forma con el descubrimiento de la ecuación de onda de Schrödinger, y fue entonces cuando al emplearla en el problema tridimensional del átomo de hidrógeno con la ayuda de un sistema de coordenadas esféricas que se descubrió que además del número cuántico n que hizo su aparición con el modelo atómico planetario de Bohr había dos números cuánticos adicionales. Ésto permitió poder darle una nueva explicación, cuántica, al efecto Zeeman clásico, sin tomar aún en cuenta ese cuarto número cuántico asignado por Pauli al spin del electrón para poder explicar los resultados del experimento Stern-Gerlach. Ignorando ése cuarto número cuántico, era posible seguir explicando el efecto Zeeman clásico en la aparición de un desdoblamiento de líneas espectrales al producirse tres líneas espectrales con la aplicación de un campo magnético a la muestra bajo observación, desde la óptica de lo que pudiéramos llamar un tratamiento semi-clásico pero no completamente cuántico del todo. Bajo tal esquema, y de acuerdo a la ecuación de onda de Schrödinger, para cada cierto nivel de energía descrito con el número cuántico principal n en el modelo de Bohr había además un conjunto de nuevos estados esperando ser descubiertos que anteriormente habían permanecido ocultos en ausencia de la aplicación de un campo magnético, pero susceptibles de poder ser sacados a flote y explicados a satisfacción con un número cuántico l. Es así como llegamos a una situación como la siguiente:
Cada una de las flechas que corresponden al espectrograma 2 representan las transiciones en niveles, de acuerdo a las reglas de selección para el número cuántico ml :
Aunque hay un total de nueve transiciones al ser aplicado el campo magnético, en realidad solo aparecerán tres saltos energéticos en un espectrograma en virtud de que, varias de ellas, agrupadas en colores comunes (flechas verdes, azules y rojas) son indistinguibles entre sí al no haber diferencia alguna en las transiciones dentro de cada grupo por ser el valor común Δml el mismo para cada transición dentro de cada grupo. Esto será un poco más claro y evidente con la ayuda de la siguiente figura:
Resulta curioso que casi al mismo tiempo que la Mecánica Cuántica estaba tomando forma desplazando a la Mecánica Clásica como el medio teórico ideal ara explicar lo que sucede en el mundo submicroscópico, se estaban llevando a cabo descubrimientos experimentales que empezaron a derrumbar las explicaciones teóricas clásicas como las que dió Lorentz en relación al efecto Zeeman. Al aumentar seguir aumentando la intensidad de los campos magnéticos utilizados y al aumentar el poder de resolución de las rejillas de difracción usadas en los analizadores de los espectros de los elementos, se fue detectando la aparición de nuevas líneas espectrales que simple y sencillamente no podían ser explicados mediante las teorías clásicas. ¿Cómo podían explicar Lorentz y Zeeman la aparición de grupos de líneas que constaban no de las tres líneas usuales que se iban separando al aumentar la potencia del campo magnético, sino de cuatro, cinco, seis y hasta más líneas? Por muchos remiendos que se le pusieran a la explicación clásica, simple y sencillamente no había una manera sencilla de explicar la aparición de muchas líneas espectrales en un mismo lugar que no tenían por qué aparecer allí. Lo más sorprendente para Lorentz y Zeeman fue que el efecto que ellos llamaban “normal” en realidad era anómalo en virtud de que era más difícil y complicado de obtener excepto en los casos más sencillos, mientras que el efecto que ellos llamaban “anómalo” resultó ser no la excepción sino la regla, aunque desafortunadamente por la costumbre histórica la terminología quedó puesta en los lugares equivocados.
Los siguientes espectrogramas nos muestran la diferencia que hay entre la aparición del desdoblamiento normal en tres líneas espectrales en el espectro del hidrógeno al aplicársele a la muestra un campo magnético, en conformidad con lo que predijo la teoría de Zeeman, y el desdoblamiento anómalo del par de líneas que forman el doblete del sodio:
La creciente potencia de los analizadores de líneas espectrales solo vino a poner en mayores aprietos al modelo clásico propuesto por Zeeman, y las contradicciones entre lo predicho por la teoría clásica y lo obtenido en el laboratorio no podían ser más contrastantes:
A estas alturas la explicación clásica del efecto Zeeman había dado todo lo que podía dar de sí, y ya ni siquiera era posible intentar ajustar teóricamente las observaciones experimentales al modelo semi-clásico. Había llegado la hora de recurrir a toda la artillería recién puesta a disposición de los teóricos por la ecuación de onda de Schrödinger recurriendo a una explicación mecanico-cuántica completa, desechando el modelo clásico de Lorentz.
en la cual metemos el potencial V(x) apropiado para un oscilador armónico simple:
que nos produce una ecuación diferencial para el oscilador armónico simple cuántico:
Sin embargo, en Mecánica Cuántica el modelo del átomo de hidrógeno no está basado en una equivalencia con un oscilador armónico simple así sea cuántico de potencial V(x).=.x2/2 sino en un potencial central radial V(r) de naturaleza Coulómbica que tiene que ser analizado recurriendo al uso de coordenadas esféricas. Esto ya lo hemos visto en entradas previas.
Ya vimos previamente en la entrada titulada “La estructura fina del hidrógeno” que el campo magnético producido por el protón (visto por el electrón considerandose a sí mismo en reposo viendo al protón orbitar en torno suyo) está dado por la relación:
con ambos vectores Bproton y L apuntando en la misma dirección en virtud de la carga eléctrica positiva del protón.
Y se derivó también en la misma entrada el hecho de que el momento magnético μe del electrón está dado por:
con lo cual la energía del sistema de un electrón que a su vez está girando sobre su propio eje tendiendo a alinearse con el campo magnético B producido por el protón dada por la expresión:
H = μ · B
que debe ser corregido con el factor relativista de Thomas de 1/2 a lo siguiente:
se convierte en lo siguiente en presencia de un campo magnético B aplicado a la muestra al incluír el efecto del campo magnético B sobre el spin S del electrón:
De éste modo, tenemos no un efecto sino dos efectos diferentes:
y la importancia de ambos efectos depende de la intensidad del campo magnético B aplicado. El problema que se tiene ahora es que la Teoría de las Perturbaciones solo nos permite manejar una perturbación a la vez, no dos. Podemos obtener correcciones de primer orden, segundo orden, tercer orden, etcétera, para un efecto perturbador, y podemos hacer lo mismo para el otro efecto perturbador, pero no podemos hacerlo simultáneamente con ambas cosas a la vez, la teoría de aproximación por series de perturbaciones simple y sencillamente no está equipada para éstos dilemas. ¿Qué se puede hacer en éstos casos?
Resulta que, para ésta situación y en éste caso muy especial, el del átomo de hidrógeno, un efecto perturbador cobra importancia sobre el otro para campos magnéticos relativamente débiles, mientras que el otro efecto perturbador cobra importancia para campos magnéticos relativamente fuertes. Con ésto en mente, podemos manejar una situación como si solamente existiera el primer efecto perturbador y el segundo efecto no tuviera mucha importancia, y del mismo modo podemos invertir los papeles y manejar la situación como si solamente existiera el segundo efecto perturbador y el primer efecto hubiera dejado de tener importancia. ¿Pero está justificado ésto? Y aún suponiendo que se le pueda justificar, ¿qué de la región intermedia en donde ambos efectos tienen igual importancia en magnitud? En la zona intermedia, la mejor opción que se tiene es recurrir al laboratorio para obtener resultados experimentales, y tratar de “conectar” lo que se obtenga experimentalmente en ésa zona intermedia con lo que predice la teoría en los dos extremos. Es así como en la cuestión teórica todo se reduce a dos casos completamente diferentes:
1) El efecto Zeeman para un campo magnético débil.
2) El efecto Zeeman para un campo magnético fuerte.
podemos entonces usar la fórmula para estimar la magnitud del campo magnético interno del átomo. Tomando el momento angular L igual a la constante de Plank ħ (la cual, después de todo, es la unidad básica del momento angular en la Mecánica Cuántica) y tomando la distancia radial r.=.a0 como el radio de Bohr para el átomo de hidrógeno, nos resulta en la fórmula:
en la cual, substituyendo las constantes físicas respectivas (sistema de unidades MKS-SI):
e = 1.6 × 10-19 Coulombse obtiene un campo magnético B igual a 12 Webers/metro2, o para mayor simplicidad, 12 Teslas. Ésto nos permite dar una definición así sea un poco arbitraria a lo que es un campo Zeeman “fuerte” (o sea el campo magnético exterior aplicado a la muestra) y lo que es un campo Zeeman “fuerte”: un campo magnético exterior B que sea lo suficientemente fuerte como para producir el efecto Zeeman que corresponde a un campo magnético intenso debe tener una intensidad mucho mayor a unas 10 Teslas, mientras que un campo magnético lo suficientemente débil como para producir el efecto Zeeman de campo débil debe tener una intensidad mucho menor que unas 10 Teslas (el campo magnético de la Tierra tiene un valor aproximado que oscila entre los 25 y 65 microTeslas dependiendo de la localización geográfica, lo cual cual lo ubica como un campo magnético relativamente débil). Si el campo magnético exterior B aplicado a la muestra es mucho menor que unos 10 Teslas, entonces el efecto obtenido es lo que se conoce como el desdoblamiento de la estructura fina, y el Hamiltoniano dado arriba puede ser considerado como una perturbación pequeña con la estructura fina dominando la perturbación, mientras que si el campo magnético aplicado es mayor que unos 10 Teslas entonces el efecto Zeeman se convierte en el efecto dominante y la estructura fina se convierte en la perturbación que puede ser tratada mediante la teoría de las perturbaciones.
ħ = 1.05 × 10-34 Joule · segundo
ε0 = 8.854 × 10-12 Coulomb2/Newton · metro2
m = 9.1 × 10-31 Kg
c = 3 × 108 metros/segundo
a0 = 5.29 × 10-11 metro
Cuando el campo magnético exterior aplicado a la muestra es débil, predomina la estructura fina que vimos anteriormente en la entrada relacionada con el tema, y los números cuánticos “buenos” son n, l, j y mj, pero no ml ni ms porque en presencia del acoplamiento spin-órbita ni L ni S son conservados por separado. La Teoría de las Perturbaciones nos dice que la corrección de primer orden a la energía en virtud del efecto Zeeman es igual a la esperanza matemática del operador de perturbación H1.=.HLS. Habiendo visto en la entrada “La estructura fina del hidrógeno” que cuando se pone un átomo bajo la influencia de un campo magnético exterior B, los niveles energéticos del átomo son desplazados como consecuencia del efecto Zeeman bajo la acción del operador Hamiltoniano de perturbación:
entonces se tiene que la corrección de primer orden a la energía cuando se aplica un campo magnético débil será (usaremos nuevamente el superíndice de 1 puesto entre paréntesis para resaltar el hecho de que se trata de una corrección perturbativa de primer orden):
Sabemos que L.+.2S.=.J. Sin embargo, en este punto no tenemos la esperanza matemática de S. Pero podemos determinar tal cosa mediante el siguiente argumento que sigue la metodología empleada en la entrada titulada “El acoplamiento LS”. De acuerdo al modelo vectorial-cuántico del átomo, el momento angular total J puede ser considerado constante:
Traeremos a colación un detalle al que le vamos a dar uso ahora. Dados dos vectores A y B con el vector A igual a la suma de dos componentes:
tales que la primera componente A⊥ es perpendicular a B y la segunda componente A∥ es paralela a B, en Análisis Vectorial se demuestra fácilmente usando las propiedades del producto escalar punto entre dos vectores que:
recibiendo ésta componente A∥ el apelativo de ser la proyección del vector A sobre el vector B. Ahora bien, en la figura de arriba, los vectores L y S efectúan ambos con rapidez un movimiento de precesión en torno al vector fijo J. Esto implica que el valor promedio de S (promediado con respecto al tiempo, esto es), usando la definición del producto punto escalar entre dos vectores, es igual simplemente a la proyección del vector S sobre el vector J:
La evaluación del término entre paréntesis es directa:
De este modo se obtiene lo siguiente:
En la explicación cuántica del efecto Zeeman, al final de cuentas lo que realmente importa es la proyección del vector (de naturaleza cuántica) J sobre el vector campo magnético B:
Se tiene entonces:
en donde podemos reconocer lo que aparece en la penúltima línea entre los paréntesis cuadrados como el factor g de Landé (no se confunda ésta gJ con la g usada para representar la razón giromagnética del electrón, una coincidencia desafortunada de símbolos al haber una cantidad muy limitada de símbolos disponibles en el alfabeto para representar lo que queremos representar).
Ésta es la corrección perturbativa de primer orden (nótese el 1 puesto entre paréntesis como superíndice para resaltar el hecho de que se trata de una corrección perturbativa de primer orden) producida por un efecto Zeeman de naturaleza puramente cuántica.
Ésta es la fórmula general que nos dá la magnitud de los niveles energéticos del átomo de hidrógeno producidos por el efecto Zeeman cuántico (anómalo). Puesto que su evaluación depende de los números cuánticos n, l, j y mj, podemos expresar la fórmula anterior anexando como subíndices al símbolo de la energía E los cuatro números cuánticos usados:
PROBLEMA: Calcúlense los desdoblamientos energéticos que podemos esperar en el átomo de hidrógeno para los ocho estados cuánticos que corresponden al número cuántico principal n.=.2 bajo la acción de un campo magnético externo débil, haciendo un diagrama de energías que muestre la manera en la cual las brechas energéticas se van separando conforme va aumentando la intensidad del campo magnético.
El primer factor de Landé, para n.=.2, con l.=.0 y con j.=.1/2, será:
El segundo factor de Landé, para n.=.2, con l.=.1 y con j.=.1/2, será:
Y el tercer factor de Landé, para n.=.2, con l.=.1 y con j.=.3/2, será:
Habiendo calculado los tres factores g de Landé que se requieren para la resolución de éste problema, podemos comenzar con el cálculo de los niveles energéticos usando los resultados obtenidos arriba.
Con el primer factor de Landé g.=.2, se tienen las siguientes evaluaciones:
Con el segundo factor de Landé g.=.2/3, se tienen las siguientes evaluaciones:
Con el tercer factor de Landé g.=.4/3, se tienen las siguientes evaluaciones:
El diagrama de niveles energéticos del efecto Zeeman para un campo magnético de baja intensidad es el que se muestra a continuación (los números de color púrpura entre paréntesis representan las pendientes de crecimiento lineal de cada uno de los niveles energéticos desdoblados):
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¿Significa lo anterior entonces que hay dos mecanismos diferentes para lo que sucede con los niveles energéticos cuando a un átomo se le aplica un campo magnético, un mecanismo puramente clásico en el que no interviene la ecuación de onda de Schrödinger y en el que por lo tanto no hay cuantización alguna (el efecto Zeeman normal) y otro puramente cuántico explicado mediante la ecuación de onda de Schrödinger (el efecto Zeeman anómalo)? Desde luego que no, ambos son consecuencia de mecanismos de naturaleza puramente cuántica. El efecto Zeeman normal en el que se produce un desdoblamiento de líneas espectrales en un triplete, visto más de cerca y con las herramientas de análisis de la Mecánica Cuántica, experimenta a fin de cuentas un desdoblamiento posterior al aumentar aún más la intensidad del campo magnético aplicado, que comprueba que el mecanismo clásico en realidad y en su quintaesencia es también cuántico:
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El modelo clásico supone que, en promedio, y considerado los planos de las órbitas de los electrones en torno al núcleo atómico (en el modelo planetario de Rutherford) orientados completamente al azar, se puede “ver” al contemplar la muestra en cierta dirección específica a tantos electrones girando en el sentido de las manecillas del reloj mecánico como en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Un problema fundamental con la explicación clásica dada por Lorentz al efecto Zeeman es que no considera la posibilidad de que el electrón en el átomo, además de estar en órbita circular, pueda estar girando sobre su propio eje a manera de trompo. Algo así fue precisamente lo que creyeron detectar Stern y Gerlach en su famoso experimento, que el electrón posee un spin intrínseco (véase la entrada “El experimento Stern-Gerlach” que forma parte de esta obra). Pero no solo detectaron la existencia de una propiedad tal intrínseca al electrón. En vez de encontrar una distribución continua en el espectrograma marcando un rango variable de distribución de valores (e intensidades) de dicha propiedad, encontraron dos bandas fijas indicando que lo que después sería llamado “spin” estaba cuantizado. Aún con este aumento en complejidad, es posible seguirle dando un tratamiento clásico al efecto Zeeman incorporando un modelo del electrón girando sobre sí mismo ya sea en un sentido o en otro sentido contrario, o lo que es lo mismo, con la flecha de su “spin” apuntando “hacia arriba”, o la flecha de su spin apuntando “hacia abajo”, o lo que es lo mismo, dándole a un spin un valor positivo de 1/2, y al otro spin un valor negativo también de 1/2. Algo así podría explicar la aparición de líneas espectrales adicionales a las que predice el efecto Zeeman normal. Pero aún así, con el modelo original de Zeeman para poder explicar lo que vendría siendo ya un efecto Zeeman anómalo, la aparición de más de dos líneas espectrales producto de un desdoblamiento, un aumento adicional en el campo magnético en otros elementos y compuestos produce la aparición de nuevos desdoblamientos espectrales posteriores que ya no se pueden explicar clásicamente con el efecto Zeeman normal ampliado con el modelo de un electrón girando sobre sí mismo. Es en éste punto en el cual interviene un mecanismo de naturaleza puramente cuántica, imposible de poder incorporar en el modelo clásico de Zeeman, la interacción entre el número cuántico orbital y el número cuántico de spin, o sea la interacción LS. ¿Hay que abandonar entonces por completo el modelo clásico de Zeeman? Bueno, el modelo original de Zeeman para el efecto Zeeman normal sigue funcionando en una variedad limitada de casos, pero si se quiere algo que funcione en todos los demás casos en donde aparecen líneas espectrales que están fuera del alcance clásico, entonces no queda otra opción más que recurrir al modelo cuántico capaz de explicar tanto el efecto Zeeman anómalo como el efecto Zeeman normal.
Para la región intermedia en donde ambos efectos, estructura fina y efecto Zeeman, se vuelven comparables, se vuelve necesario recurrir a la teoría de las perturbaciones para estados degenerados y es necesario diagonalizar el Hamiltoniano mediante cálculos manuales.
a
El siguiente diagrama nos muestra lo que ocurre cuando se le aplica a una muestra de un átomo alcalino en un estado P un campo magnético que empieza como campo magnético débil y termina en lo que viene siendo considerado como un campo magnético fuerte (las curvas sólidas han sido graficadas usando una expresión semi-empírica válida para todos los valores del campo magnético):
En el diagrama en donde la coordenada horizontal está graduada en unidades que corresponden a:
δE es la brecha energética que separa los dos niveles 2P1/2 y 2P3/2 que corresponden al doblete del estado P. Obsérvese cómo bajo la aplicación del campo magnético B el nivel energético que corresponde a 2P3/2 empieza a desdoblarse (en la región del campo magnético débil) en cuatro subniveles energéticos, mientras que el nivel energético que corresponde a 2P1/2 empieza a desdoblarse en dos subniveles energéticos. Las transiciones que se puedan llevar a cabo a causa de los seis subniveles energéticos por la aplicación del campo magnético B darán un comportamiento en las líneas espectrales propio de un efecto Zeeman anómalo. Los niveles energéticos mostrados con líneas punteadas en la región izquierda de la gráfica son los que se obtienen teóricamente con aproximaciones perturbativas en la zona que corresponde a un campo magnético débil, mientras que los niveles energéticos mostrados con líneas punteadas en la región derecha de la gráfica son los que se obtienen teóricamente con aproximaciones perturbativas en la zona que corresponde a la región de campo magnético fuerte, mientras que en la zona intermedia no se puede aplicara la Teoría de las Perturbaciones al haber dos perturbaciones de magnitudes comparables pero originadas por causas físicas distintas. En el extremo derecho del diagrama que corresponde a la región del campo magnético fuerte, se aprecia que el subnivel energético inferior del nivel 2P3/2 empieza a confundirse con el subnivel energético superior del nivel 2P1/2 correspondiendo a los números cuánticos:
y para fines prácticos se tienen ya solo cinco subniveles energéticos capaces de producir en apariencia tres líneas espectrales que resultan de los cinco subniveles energéticos igualmente espaciados, produciendo por lo tanto las líneas espectrales que corresponden a un efecto Zeeman normal. Sobre ésto último hay que aclarar que para que se produzcan las líneas espectrales los saltos cuánticos se deben llevar a cabo no entre los niveles energéticos que corresponden al mismo orbital P sino yendo al orbital S que está energéticamente más abajo de todos los subniveles que corresponden al orbital P, y en realidad no se producen tres líneas espectrales sino seis líneas espectrales las cuales parecen ser solo tres debido a la cercanía energética entre pares de líneas que suelen confundirse entre sí en los espectroscopios económicos de baja resolución. Éste tipo de comportamiento es lo que se conoce como el efecto Paschen-Back nombrado así en memoria de sus descubridores Friedrich Paschen y Ernst Back. El campo externo fuerte destruye el acoplamiento LS spin-órbita y deja de tener significado la suma vectorial L+S; y los vectores L y S realizan su precesión en torno al campo magnético B independientemente uno del otro como lo muestra la siguiente figura:
De éste modo, al aumentar la intensidad del campo magnético B va creciendo la separación entre líneas espectrales, y dos componentes de los multipletes de rayas espectrales vecinas empiezan a confundirse hasta que finalmente quedan solamente las correspondientes al espectro Zeeman normal. Se trata, en efecto, del paso del efecto Zeeman anómalo al efecto Zeeman normal.
En rigor de verdad, con un espectroscopio lo suficientemente potente se encuentra que las tres líneas espectrales propias del efecto Zeeman normal y tomadas como tales por el efecto Paschen-Back resultan ser no tres sino seis, pero al estar agrupadas en pares cercanos lo que en realidad son seis pares de líneas espectrales que podemos simbolizar como α, β y γ se pueden confundir dando la impresión de que tan solo hay tres líneas espectrales en el espectrograma cuando en realidad hay seis como lo sugiere el siguiente diagrama:
Niveles energeticos y lineas espectrales propias del efecto Paschen-Back:
Es imposible tratar de conciliar el efecto Zeeman clásico (normal) con el efecto Zeeman cuántico (anómalo) porque las explicaciones teóricas de ambos efectos se basan en mecanismos completamente diferentes que no tienen nada que ver el uno con el otro.
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