El misterioso número pi

Es posible que al haber estudiado geometría primero en la escuela primaria y después en la escuela secundaria, sin darte mayores explicaciones al respecto tus maestros te hayan dicho: "Mira, el área de un círculo, cuando conocemos el valor de su radio, se obtiene de la fórmula:

A = πr²

y la longitud de la circunferencia que rodea al círculo se obtiene de la fórmula:

C = 2πr

que te tienes que aprender de memoria".

Si esta fue la forma en la cual aprendiste acerca de la existencia del número pi (π), entonces lamento decirte que te enseñaron geometría de la manera equivocada.

El verdadero espíritu de las matemáticas no consiste en estarse aprendiendo al por mayor muchas fórmulas de memoria sin saber de dónde vinieron. En particular, el número π, ¿sábes lo que significa? ¿Sábes de dónde viene? ¿Te lo explicaron? Si lo único que te dijeron es que es una constante numérica igual a 3.1416, entonces lamento decirte que tuviste malos maestros que sólo te tuvieron perdiendo lastimosamente tu tiempo en un mesabanco. Lo mismo puede decirse de las fórmulas. Esas fórmulas no salieron de la nada, como tampoco vino un extraterrestre a darnos esas fórmulas. Si no te dieron alguna explicación sobre el origen de esas fórmulas, entonces lamento decirte que tuviste malos maestros. Las matemáticas no son un asunto que tenga que entrar de memoria a la cabeza, aunque el tener que aprenderse de memoria la tabla de multiplicar y muchas fórmulas geométricas sin saber su origen puede causar esa impresión errónea en el estudiante. Las matemáticas son un asunto que debe entenderse, no memorizarse. Los loros son buenos para memorizar, y eso no los ha sacado de sus jaulas.

Vamos a ver primero de dónde viene el número π.

Primero, vamos a trazar un círculo de diámetro d. Por definición, el diámetro de un círculo es la línea recta de mayor longitud que puede trazarse dentro del círculo, pasando por su centro, y es por lo tanto igual al doble del radio r del círculo, y que la circunferencia C es la línea (curva) que le dá una vuelta completa al círculo (el círculo es el espacio comprendido dentro de la circunferencia). Tenemos de este modo la siguiente figura:

Ahora bien, supongamos que el diámetro d del círculo es de un metro. Supongamos también que somos una pulga que camina recorriendo la circunferencia C hasta llegar al punto de donde empezamos. Sin usar fórmula alguna, nos preguntaremos ¿cuánto fue lo que caminamos hasta llegar al punto de partida? Es aquí cuando se vuelve extremadamente útil usar una cinta métrica flexible, como las cintas que usan los carpinteros, fijando el comienzo de la cinta en el lugar en donde empezamos nuestro recorrido. Al terminar nuestro recorrido, vemos que la cinta mide 3 metros. Pero si nos fijamos mejor, la distancia recorrida es un poco más de 3 metros. Es como 3 metros 14 centímetros. Si la cinta es una cinta muy fina con muchas subdivisiones, nos dará un recorrido de unos 3 metros 14.2 centímetros, o lo que es lo mismo en el sistema métrico decimal, 3.142 metros. Esto nos dice que la longitud de la circunferencia es un poco más de tres veces mayor que el diámetro del círculo. Ahora bien, si hubiéramos usado un círculo mucho menor, de un centímetro de diámetro en lugar de un metro de diámetro, ese factor se mantendría igual, porque la longitud de la circunferencia sigue siendo un poco más de tres veces la longitud del diámetro sin importar el tamaño del círculo, ya que todos los círculos son figuras semejantes. Esto nos dice que ese factor de 3.142 es una constante universal, igual para todos los círculos, la cual no cambia de un círculo a otro.

Si midiéramos con una cinta métrica mucho más fina, encontraríamos que esa constante, en vez de ser 3.412, es de 3.1416. Pero una cinta métrica más fina aún nos daría una precisión mayor de 3.14159. Curiosamente, entre más y más subdivisiones utilicemos, más y más dígitos siguen apareciendo como parte del número π. Este proceso de ir agregando mayor precisión al número π nunca acabará, porque el número π es infinitamente largo. ¿Y cómo se supo que el número π es infinitamente largo? Es obvio que ello no se supo con una cinta de medir, porque por fina que sea, después de la tercera cifra se vuelve muy difícil seguir obteniendo los siguientes dígitos del número π. Después veremos cómo se sabe que el número π es infinitamente largo. Por lo pronto, a continuación tenemos un poster que nos va dando las cifras de las que consta la constante universal π:

Así pues, el número π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro:

Y como vimos, se puede calcular una aproximación del mismo en forma experimental, la cual por ser experimental siempre tendrá un porcentaje de error.

Ahora bien, si la longitud de la circunferencia es un poco más de tres veces mayor que el diámetro del círculo por ese factor de π, entonces basta con multiplicar el diámetro d por dicho factor para obtener la longitud de la circunferencia:

C = π•d

Pero el diámetro d de un círculo es igual al doble de su radio r. Sustituyendo esto en la relación anterior, obtenemos la "fórmula":

C = 2πr

Ahora trataremos de obtener la "fórmula" del área del círculo cuando conocemos el radio del mismo. El primer paso consiste en inscribir dentro de un círculo el polígono con la menor cantidad posible de lados: un triángulo equilátero:

La primera observación es que el área de este triángulo ocupa una parte del área del círculo, por lo que calculando el área del triángulo con la fórmula usual (base por la altura entre 2) tendríamos una aproximación incial -tosca- al área del círculo. Podemos mejorar nuestra aproximación si en lugar de un triángulo equilatero usamos un polígono regular con una mayor cantidad de lados, por ejemplo, un octágono:

Resulta obvio que con un octágono podemos cubrir un área mayor del interior del círculo que con un triángulo equilátero. Para calcular el área de este octágono, basta con subdividir el octágono en ocho triángulos isósceles iguales, uno de los cuales se muestra en el dibujo de arriba, y una vez calculada el área de un triángulo sumamos las áreas de los ocho triángulos multiplicando el área de un triángulo por ocho, puesto que tenemos ocho triángulos en el interior del círculo. Y si en lugar de un octágono usamos un polígono regular con una mayor cantidad de lados, digamos 100 lados, dicho polígono nos dará una aproximación muy buena del área del círculo. Un polígono regular con una cantidad todavía mayor de lados, por ejemplo un millón de lados, cubrirá el área interior del círculo de modo tal que prácticamente será indistinguible de un círculo verdadero, necesitaríamos un microscopio ultra-fino para poder darnos cuenta de que se trata de un polígono regular con muchos lados y no un círculo "verdadero". Y esta es la clave para obtener la "fórmula" del área del círculo. Hacemos tender este proceso hacia el infinito.

El área de un pentágono inscrito dentro de un círculo se obtiene subdividiendo primero al pentágono en cinco triángulos iguales de la manera como lo indiqué en la figura de arriba, y el área total del pentágono se obtendrá sumando las cinco áreas de esos triángulos, obtenida cada una de ellas por la fórmula usual del área de un triángulo (base por altura sobre dos). Si denotamos la base de cada triángulo como L y la altura de cada triángulo como h, entonces el área del pentágono será igual a la suma de las áreas de los cinco triángulos inscritos:

(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)

Para un polígono regular de seis lados, o sea un hexágono, el área del hexágono será:

(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)

En general, para un polígono regular de varios lados, la relación general será:

(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+...

en donde queda claro que para un polígono regular de n lados tenemos que sumar una cantidad n de términos.

Puesto que los triángulos interiores al polígono son iguales, teniendo la misma base y la misma altura, podemos llevar a cabo la siguiente factorización:

(L+L+L+L+L+...)(h/2)

Ahora vamos a llevar esto hasta al extremo. Imaginemos que tenemos inscrito dentro del triángulo un polígono regular con una cantidad tan grande de lados, que la suma de cada una de las minúsculas "cuñas" en que se van convirtiendo las bases de cada triángulo, al ser sumadas, nos dan una buena aproximación de la longitud de la circunferencia que rodea al círculo. Siendo así, podemos reemplazar con muy poco margen de error la suma de las bases por la longitud de la circunferencia:

(2πr)(h/2)

Pero si observamos bien, al tener nuestro polígono regular una cantidad enorme de lados, la altura de cada uno de sus triángulos se va aproximando con una precisión cada vez mayor a la longitud del radio del círculo, hasta el punto de volverse prácticamente inconfundibles ambas longitudes. Siendo así, podemos reemplazar el valor de h por el valor de r, y nuestra expresión anterior se reduce a lo siguiente tras llevar a cabo nuestro procedimiento hasta el infinito:

(2πr)(r/2)

Llevando a cabo ahora sí una simplificación algebraica quitando los paréntesis, tenemos entonces que, por el proceso límite que hemos empleado, el área del círculo está dada por:

πr²

que es la "fórmula" que nos enseñan desde las escuelas primarias. Este método para encontrar que el área de un círculo se obtiene con la relación A = πr² generalmente se le atribuye al famoso astrónomo Johannes Kepler, quien ganó renombre dejando las tres leyes que llevan su nombre, las leyes de Kepler (las cuales fueron obtenidas experimentalmente por él mediante un análisis cuidadoso llevado a cabo sobre los períodos de los movimientos de los astros, leyes que serían obtenidas posteriormente por Isaac Newton de su ley de la gravitación universal). Sin embargo, 250 años antes de Cristo ya se le había ocurrido esta manera de obtener el valor de π a uno de los más famosos matemáticos griegos de la antigüedad, Arquímedes. Lo que hizo él fue inscribir un círculo dentro de un polígono regular al cual se le podía aumentar el número de lados, y dentro del círculo inscribión un polígono como se ha hecho arriba. Al aumentar el número de lados tanto del polígono dentro del cual está inscrito el círculo como del polígono que está inscrito dentro del círculo, Arquímedes razonó que el valor de π tenía que estar entre los dos límites, uno de los cuales sería inicialmente mayor que π pero se iría acercando al valor real conforme fuera aumentando el número de lados (con el círculo inscrito dentro del polígono), siendo el otro inicialmente menor que π pero acercándose al valor real al aumentar el número de lados (con el polígono inscrito dentro del círculo). Recomiendo visitar la siguiente dirección para llevar a cabo una interesantísima y divertida demostración interactiva del procedimiento empleado por Arquímedes:

http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/pi.html

Tómese en cuenta que en la antigua Grecia, en los tiempos de Arquímedes, el álgebra aún no se había inventado, eso vendría mucho tiempo después, poco antes de la Edad Media, y no se había inventado aún el cero, mucho menos el sistema métrico decimal. ¡Ni siquiera se había inventado la numeración romana! Aún así, Arquímedes logró obtener un valor muy preciso de π para su tiempo.

Hay otras maneras de obtener la fórmula para calcular el área de un círculo cuando se conoce el radio, pero creo que el razonamiento que acabo de exponer es uno de los más sencillos de digerir.

Ahora veamos la forma en la cual se obtiene el valor del número π de una manera mucho más exacta que el valor que podamos obtener llevando a cabo mediciones con una cinta métrica. En los cursos superiores de matemáticas universitarias, se descubre mediante las herramientas del cálculo infinitesimal que el número pi puede ser calculado mediante una serie aritmética infinita como la serie Gregory-Leibniz:

La fórmula para obtener cada uno de los términos de la serie es la siguiente:

Puesto que la serie aritmética es una serie infinita, dándonos adiciones cada vez más pequeñas de términos al número π que nunca acaban, resulta obvio que el número π constará de un número infinito de cifras; nunca será posible escribirlo en su totalidad. Y como no es posible escribirlo en su totalidad, tampoco puede ser obtenido mediante la simple división de dos números enteros. Al no poder ser obtenido a través de la razón entre dos números enteros, se dice que π es un número irracional. Y de hecho, números como π reciben otro nombre que los distingue como especiales, se les llama trascendentes, porque "trascienden" a los números racionales.

La serie arriba mostrada no es la única que existe para calcular el número π. Existen otras series mucho más eficientes. Sin embargo, todas las series usadas para calcular π son infinitas, como era de esperarse.

Sabiendo ya que la definición original del número π viene de una definición geométrica, ahora presentaré un argumento que no deja de causar interés en quienes lo escuchan por vez primera: el número π geométrico no existe en el universo físico en el que vivimos. Si π es un número basado en mediciones exactas llevadas a cabo con una precisión hasta el infinito sobre un círculo trazado en un plano, la medición será exacta sólo si el "plano" es perfectamente plano, hasta el infinito, sin ninguna curvatura. Pero para que no haya ninguna curvatura, se requiere que el plano en donde es trazado el círculo no esté sujeto a la acción de la gravedad de la Tierra. Esto lo puedes ver mejor si tomas una hoja de papel en tus manos y logras sostenerla con uno solo de tus dedos puesto en el centro de dicha hoja (un poco difícil, pero se puede lograr). Lo que sucederá, irremediablemente, es que las esquinas de la hoja caerán hacia abajo por la acción de la gravedad de la Tierra, quedando por abajo del centro de la hoja. Siempre habrá una curvatura presente aunque subamos al edificio más alto que hay en la Tierra. Y si subimos hasta el espacio exterior, la gravedad de la Tierra, aunque menor, seguirá "pandeando" la hoja de papel.

Ahora bien, de acuerdo con la Teoría General de la Relatividad concebida por Einstein, la acción de la gravedad no consiste en una fuerza casi mágica, invisible, jalando a dos cuerpos que según Isaac Newton se atraen entre sí "en razón directa del producto de sus masas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que los separa". Einstein unificó los conceptos del espacio en tres dimensiones (ancho, largo, profundidad) con la dimensión del tiempo, para crear un solo concepto, el espacio-tiempo (una sola palabra, indivisible), el cual obviamente es de cuatro dimensiones. Einstein nos explica con su teoría de la relatividad que la gravedad se debe a que la presencia de cualquier objeto que siempre tendrá algo de masa, aunque sea un poco, introducirá una curvatura en ese espacio de cuatro dimensiones, y según ello, la única forma posible de que no haya alguna curvatura apreciable, la única forma posible en que ese espacio de cuatro dimensiones sea "plano" (lo que en física moderna se llama Lorentziano) es que no haya algún objeto cercano que con su masa introduzca esa curvatura en el espacio de cuatro dimensiones. Esta curvatura va disminuyendo conforme nos vamos alejando del objeto, pero siempre estará presente, aún a grandes distancias. Y aún en el supuesto caso de que nos estemos alejando mucho de la Tierra para reducir la curvatura que introduce la masa de la Tierra en ese espacio cuatri-dimensional, eventualmente estaremos cerca de otro planeta, o inclusive cerca de otra estrella o de otro sistema solar, que empezará a afectar con su masa lo que de otra manera sería un "plano perfecto". La única manera posible en la cual podríamos tener un "plano perfecto" sería si no hubiese nada de masa en ninguna parte del Universo, o sea, si el Universo estuviera completamente vacío. Pero un universo completamente vacío, privado de cualquier cantidad de masa, inclusive de la masa de un solo átomo, se antoja inconcebible. Un universo así ni siquiera podría haber "nacido", de acuerdo con los descubrimientos teóricos de la física. Por otro lado, aún si pudiéramos trasladarnos con una nave interplanetaria, o mejor dicho, intergaláctica, a otra región del Universo en donde estuviéramos lo más alejado posible de la cercanía de cualquier tipo de masa, tendríamos el problema de que, como el número π se va subdividiendo con precisión ilimitada hasta el infinito, no existirá ninguna parte del Universo en donde una medición teórica ideal del π geométrico eventualmente incurrirá en una diferencia con el número π matemáticamente exacto que obtenemos no por mediciones geométricas sino mediante el empleo de series matemáticas como las mostradas arriba, y todo ello por el hecho de que siempre habrá alguna curvatura presente, por pequeña que sea, que destruirá el "plano perfecto". De hecho, la diferencia entre el número π que obtendríamos a través de mediciones geométricas precisas y el número π exacto que nos proporcionan las series matemáticas nos daría una forma de evaluar la curvatura del espacio cuatridimensional en el que estamos ubicados.

Otra forma de ver lo que he expuesto arriba es la siguiente. Imaginemos por un momento que, en vez de ser seres tridimensionales, somos seres bidimensionales, limitados a vivir en un espacio de dos dimensiones, sin poder salir afuera hacia la "tercera dimensión" que vendría siendo la dimensión de profundidad. Ahora imaginemos que, a manera de las hormigas, nuestro "mundo", nuestro "universo", está empotrado sobre la superficie de una pelota de futbol. Nosotros no podemos darnos cuenta de ello, porque estamos confinados a vivir y a movernos en la superficie de la pelota, no podemos "salir" hacia fuera de la pelota ni podemos movernos dentro de ella, y aquí suponemos que nuestros sentidos físicos, como seres bidimensionales, nos impiden darnos cuenta de que nuestro mundo está de hecho empotrado dentro de otro mundo tridimensional (del mismo modo en que la limitación actual de nuestros sentidos nos impide darnos cuenta de que vivimos en un mundo de cuatro dimensiones, de acuerdo con Einstein). Ahora, como diligentes hormigitas, trazamos en nuestro mundo, de la manera más precisa posible, una circunferencia. Esa circunferencia, de acuerdo con todas nuestras mediciones y cálculos, será una circunferencia matemáticamente exacta. El siguiente paso consiste en trazar un diámetro dentro de nuestra circunferencia, el cual por definición será cualquier cuerda con la mayor longitud posible que podamos trazar dentro del círculo. Pero para un ser superior, capaz de captar que vivimos en un mundo tridimensional, nuestro diámetro no será una línea recta, sino un arco de círculo. En realidad, al tomar una pluma y trazar una línea recta sobre la superficie de una pelota de futbol, estamos trazando una cuerda sobre la superficie esférica de la pelota de futbol. Esto quiere decir que, como seres bidimensionales, al medir el "diámetro" de nuestro círculo, ese "diámetro" de hecho será mayor en longitud que el valor que obtendríamos si nos fuese posible "perforar" la superficie de la pelota de futbol trazando la recta más corta posible que une los extremos de nuestro diámetro, algo que solo le es posible a un ser capaz de vivir en un universo de tres dimensiones, capaz de salir fuera de la pelota o entrar dentro de ella. En lo que a las hormigitas confinadas a vivir en el mundo plano empotrado sobre la superficie de la pelota de futbol respecta, después de llevar a cabo la medición exacta de la longitud del diámetro de la circunferancia que trazaron (que en realidad es no una línea recta sino un arco de círculo), y al dividir la longitud exacta de la circunferencia entre la longitud exacta del diámetro de dicha circunferencia medido por ellos (la definición geométrica de π), se van a llevar la gran sorpresa de su vida al encontrarse con que el valor de π así obtenido, en lugar de ser el valor predicho por las series matemáticas, va a ser un valor menor al que predicen dichas series. Irremediablemente, se van a topar con el hecho de que hay lo que parece ser un "error" ineludible. Así, mientras que el valor matemáticamente exacto de π, hasta doce cifras significativas, es:

π(exacto) = 3.14159265358...

el valor obtenido experimentalmente por las hormigitas podría ser algo como lo siguiente:

π(experimental) = 3.14159265219...

y la diferencia entre el valor matemáticamente exacto y el valor experimental de π será:

π(exacto) - π(experimental) = 3.14159265358... - 3.14159265219...

π(exacto) - π(experimental) = 0.00000000139

Es importante darse cuenta de que esta diferencia no se debe a un error en los instrumentos de medición empleados por las hormigitas, los cuales supondremos increíblemente precisos. El "error" se debe al hecho de que el universo "plano" en el que viven las hormigitas está empotrado dentro de un universo de tres dimensiones en el cual hay una curvatura. Y de hecho, calculando el valor de π mediante series matemáticas exactas y comparándolo con el valor obtenido experimentalmente, la diferencia resultante no sólo haría a nuestras hormigitas descubrir que el espacio que creían plano de hecho es un espacio curvo, sino inclusive la magnitud de dicha diferencia les daría el valor exacto de la curvatura del espacio en el que viven. Es así como descubrirían y confirmarían, más allá de la limitada utilidad de sus sentidos físicos, que no viven en un universo "plano" sino que viven en un universo que de hecho está curvo. La diferencia entre el valor matemáticamente exacto de π y el valor obtenido experimentalmente se hará menor en tanto sea menor la curvatura del espacio, lo cual se puede lograr para las hormigitas suponiendo una pelota de futbol más y más grande, inclusive del tamaño del planeta Tierra. Pero siempre habrá un margen de "error", habido el hecho de que el número π está formado por una cantidad infinitamente grande de dígitos, y por pequeña que sea la "curvatura" del espacio bidimensional en el que viven las hormiguitas, la extensión infinita de π eventualmente alcanzará el punto en el que un valor experimental de π diferirá del valor teóricamente exacto. Ahora bien, nosotros no somos seres bidimensionales, no estamos limitados a vivir en un universo de dos dimensiones. Tenemos sentidos físicos que nos permiten captar que vivimos en un mundo tridimensional. Pero nuestros sentidos físicos no nos permiten captar que, de hecho, vivimos en un espacio de cuatro dimensiones, como lo predice la Teoría General de la Relatividad de Einstein. Y por lo tanto, estamos tan impedidos como las hormigitas de captar cualquier curvatura de ese espacio de cuatro dimensiones cuyos efectos, de cualquier manera, tal vez se pueden descubrir a la manera de las hormiguitas con mediciones experimentales, a menos de que la diferencia entre el valor experimental (geométrico) de π y el valor matemáticamente exacto de π sea tan pequeña que su determinación siempre estará fuera del alcance de cualquier instrumento que pueda ser concebido por nosotros o por las hormiguitas.

En base a lo que se ha explicado, la definición del número π usando el concepto geométrico de obtenerlo midiendo no es una definición teóricamente exacta, ya que en principio dará valores diferentes de acuerdo con la región del Universo en donde llevemos a cabo las mediciones geométricas. Y esto no tiene nada que ver con la precisión de los aparatos que utilicemos para llevar a cabo las mediciones. Es una falla intrínseca, inevitable, producto de la realidad de que vivimos en un universo físico y no en un universo matemático "ideal". Siendo así, la definición exacta de π, puramente matemática, se tiene que dar no en base a su origen geométrico con el que empezamos esta exposición, sino en base a cualquiera de las series matemáticas infinitas que se usan para calcularlo usando números en vez de usar cintas de medir. El problema ahora es que, ¿habrá alguien en las escuelas de enseñanza media que pueda entender esto, cuando las series matemáticas infinitas es un tema que por lo general sólo se discute hasta llegar a la universidad, y ello sólo en cursos de matemáticas impartidos en las carreras científicas y técnicas?