Soluciones, soluciones

En todos los trabajos de índole técnica y científica que he estado publicando en Internet, los problemas y ejercicios de práctica que he estado incluyendo tienen todos ellos una característica: a todos se les dá una solución que puede ser consultada de inmediato por mis lectores. No he puesto un solo problema al que no se le haya dado una solución.

Recuerdo cuando estaba chico estudiando en la escuela primaria el coraje que me daban los famosos "Cuadernos Gader" usados para prácticas de aritmética, los cuales además de imponer un tiempo límite máximo rigurosamente cronometrado en cada uno de los ejercicios, no proporcionaban absolutamente ninguna respuesta a ninguno de los ejercicios. De por sí ya era bastante pesado el tratar de "ganarle al reloj" para que además de esto se tuviera que lidiar con el problema de que no hubiera respuestas a ninguno de los ejercicios. En la prisa por "ganarle al reloj", era muy fácil cometer una equivocación, pero si uno se equivocaba, no había forma alguna de saber que se había incurrido en una equivocación a menos de que el maestro corrigiera todos los cuadernos de todos los alumnos, lo cual jamás ocurría en salones de clase sobrepoblados en los cuales la norma eran grupos de cuarenta o cincuenta alumnos.

Cuando pasé a la escuela secundaria, esto no mejoró significativamente, ya que para los problemas más sofisticados de matemáticas en el mejor de los casos en algunos libros se daban únicamente las respuestas a los problemas pares o nones en la parte trasera de libro, y en otros libros no se daba respuesta alguna. En la escuela preparatoria, esta pésima práctica editorial siguió refrendada no sólo en mis libros de matemáticas (geometría analítica y cálculo) sino también en los libros de ciencias (química y física). Y al pasar a la profesional esto empeoró a grado tal de que varios de los libros no tenían ni siquiera la respuesta a los problemas pares o nones, no tenían respuesta alguna. Y ya desde entonces una pregunta circulaba por mi mente: ¿cuál es el objeto de proponer cierto problema o ejercicio al final de cada capítulo para su resolución por parte del estudiante cuando no se le proporciona una respuesta a dicho problema con la cual el estudiante pueda cotejar sus resultados? Esta práctica convertía a muchos problemas de cálculo aritmético en una verdadera vacilada, ya que en un problema al final de algún capítulo en donde el autor del libro dijera algo como lo siguiente: "Calcular el volumen de un cono de dos metros de radio en su base y una altura de cinco metros", ¿qué más daba si el estudiante en lugar de usar una altura de cinco metros usaba para el cono una altura de veinte metros o, más fácil aún, una altura de un metro? Al fin y al cabo, sin respuesta alguna proporcionada por el autor, dá lo mismo usar los números inventados por el autor de un libro que los números inventados por uno mismo.

Recuerdo que cuando cursaba mis estudios cuestioné esa práctica duramente, y en la universidad muchos maestros casi siempre me salían con la misma respuesta. Me decían "los libros de termodinámica, estadística, etc. no dan ninguna respuesta porque en la práctica a un profesionista no se le dan las respuestas, el profesionista debe sentirse seguro de que él está dando una respuesta correcta a quienes están acudiendo para procurar su ayuda y sus servicios como profesionista". Lo cual, algunas décadas después, me parece francamente un argumento estúpido, porque la seguridad y la plena confianza en uno mismo sólo pueden llegar con la práctica cuando se tiene de antemano una base sólida de conocimientos sin lagunas ni boquetes que sólo pueden ser origen de dudas y desconfianzas. Otros maestros me daban otro tipo de respuesta, argumentando que la razón por la cual muchos de los libros en las carreras de ciencias e ingeniería no daban respuestas ni soluciones era porque ello aumentaría el costo de los libros, lo cual nunca me pareció una buena excusa considerando que unas quince o veinte páginas extra incluyendo las respuestas a los problemas en un libro de cuatrocientas o quinientas páginas no podría aumentar tanto el costo del libro. Y aún otros argumentaban que el no dar respuestas forzaba a los estudiantes a recurrir a su creatividad y su ingenio para buscar formas de confirmar los resultados obtenidos sobre cada problema o ejercicio. Pero ¿de qué sirve tener mucha creatividad y mucho ingenio para resolver todos los problemas al final de cada capítulo de un libro si no hay respuestas con las cuales el alumno puede tener la confirmación de que está atinando correctamente en todas sus respuestas?

Ahora, con la experiencia que me dá la madurez como profesionista, puedo afirmar de modo categórico mi punto de vista de que todos esos argumentos son en su mayoría argumentos perfectamente idiotas o equivocados, y voy a dar más razones del por qué sostengo firmemente este punto de vista.

El incluír las respuestas en cualquier libro de ciencias e ingeniería le proporciona al alumno la oportunidad, pedagógicamente valiosa, de cotejar su respuesta con la que dá el autor del libro, y si el autor del libro hizo bien su trabajo poniendo respuestas correctas a sus propios problemas propuestos, entonces al no coincidir algunas de las respuestas obtenidas por el alumno con las respuestas que dá un autor esto prácticamente obliga al estudiante deseoso de aprender a repasar de nuevo su solución hasta encontrar el paso en donde se desvió de la solución correcta que debería de haber obtenido. Posiblemente se trate de una simple equivocación aritmética, y en tal caso ello acostumbrará al estudiante a tratar de ser un poco más cuidadoso y metódico con sus cálculos. Pero posiblemente no se trate de una simple equivocación en la aritmética, posiblemente se incurrió en un error serio de entendimiento del material de estudio, un error con el cual aunque todos los pasos aritméticos sean correctos no habrá forma de obtener una respuesta que coincida con la que dá el autor. Esto obliga al estudiante a examinar con mayor detenimiento su lógica, sus razonamientos, sus juicios, lo que aprendió, en fin, todo, y si pasado cierto tiempo sigue sin obtener la respuesta correcta entonces tal vez no le quedará más opción que acudir con el maestro de la clase para obtener su ayuda, y casi siempre por lo general al descubrir la naturaleza del error el estudiante logra una especie de "iluminación", una especie de "eureka", diciéndose a sí mismo "por fín ya comprendí la naturaleza de mi error, y he aprendido algo nuevo el día de hoy". Pero sin solución del autor contra la cual comparar su respuesta, el estudiante se quedará con una duda que podrá durarle por el resto de su vida.

La inclusión de las respuestas (o mejor aún, las soluciones abreviadas) a los problemas propuestos en un libro puede ser un poderoso estímulo para que el alumno se anime a seguir estudiando más a fondo una materia técnica o científica cada vez que confirma que ya obtuvo la misma respuesta (correcta) que la que obtuvo el autor, comprobándose a sí mismo que su entendimiento del material es adecuado, aumentándose la confianza en sí mismo. Esto es algo que en teoría de sistemas se llama retroalimentación (feedback), y es retroalimentación positiva. Cuando no hay solución ni respuestas a los problemas propuestos, no hay retroalimentación, no hay incentivo alguno a que el alumno continúe estudiando más material por su propia cuenta al graduar de un curso, como si fuese un monólogo en el que el tutor se la pasa hablando todo el tiempo sin permitirle a su interlocutor interactuar con él. Cero retroalimentación, cero interacción, cero confirmación sobre la certeza de los conocimientos adquiridos. No se puede caer ya más bajo que esto. Todo aquél que haya estudiado sistemas de control sabe que la retroalimentación es la herramienta más poderosa que existe para darle un alto grado de estabilidad a un sistema, y la retroalimentación está basada precisamente en la detección de una señal de error (la cual ocurre cuando el sistema se está desviando de su curso correcto), es el conocimiento preciso del error lo que permite a un sistema tomar su propia acción correctiva modificando su curso para minimizar o eliminar el error por completo. Sin retroalimentación, cualquier sistema en la naturaleza es inherentemente inestable, a grado tal que puede terminar en su propia autodestrucción.

Una carrera en la cual no se le niegan las respuestas al estudiante es la carrera de medicina. Pero esta es una carrera en la cual no se le pueden negar las respuestas al estudiante porque al graduar de la carrera tendrá las vidas de otros en sus manos, y un mal diagnóstico o un mal tratamiento causado por una mala preparación en el médico pueden resultar fatales para sus pacientes, se trata de un asunto de vida o muerte.

Supongamos por un momento que la carrera de medicina fuera igual que las carreras de ciencias e ingeniería, y que el aprendizaje del futuro médico se llevara a cabo con ejercicios y problemas mentales a los cuales no se les dá solución ni respuesta alguna ni siquiera en la parte trasera del libro. Supongamos que uno de esos problemas es el siguiente:

PROBLEMA: Un paciente del sexo masculino de 47 años de edad y 98 kilos de peso se presenta con un cuadro clínico en el cual ha caído víctima del sarampión además de haber contraído previamente desde hace cuatro meses una infección diagnosticada como "hepatitis A". ¿Cuál es el tratamiento médico recomendado a seguir por un paciente que presenta este cuadro clínico?

Supongamos ahora que este problema forma parte de unos doscientos o trescientos problemas puestos en diversos capítulos de un libro de texto, tal y como ocurre con los libros de texto en las carreras de ciencias e ingeniería. Y supongamos que, tal y como ocurre en las carreras de ciencias e ingeniería en las cuales los estudiantes casi nunca alcanzan a cubrir en clase la solución ni siquiera de la quinta parte de los problemas que trae cierto libro de texto, un grupo de estudiantes de medicina no alcanza a cubrir dentro del tiempo de la materia la solución a este problema que he propuesto.

¿Le gustaría realmente a alguien que haya caído víctima del sarampión después de haber contraído previamente desde hace cuatro meses una infección diagnosticada como hepatitis A el ponerse en manos de cualquiera de estos médicos que nunca vieron la solución de este problema en clase? ¿Confiaría realmente en alguno de ellos? Puesto que los estudiantes de medicina en nuestro hipotético caso no vieron jamás la solución a este problema en el salón de clases, ni el maestro de la materia les dió jamás la solución al mismo, y aunque formularan en sus mentes alguna solución a este problema no hubo forma de comparar sus respuestas con las enseñanzas que debería de estar impartiendo el autor de libro por no incluír el autor del libro respuesta alguna a dichos problemas, tales médicos serían médicos incompletos, médicos de la peor clase.

¿A quién le gustaría caer en manos de un médico así entrenado?

Esta es la razón por la cual, al menos en las carreras de medicina y enfermería, se le proporcionan (o se le deben proporcionar) a los estudiantes absolutamente todas las respuestas a todos los problemas que puedan encontrar en la práctica, no se les debe dejar graduar con ninguna duda, porque al graduar se supone que no van a usar a sus pacientes como conejillos de indias para ver si la respuesta que se les viene a la mente para tratar un problema así es la correcta. Van a tener las vidas de sus pacientes en sus manos, y un error por una preparación académica inadecuada puede ser mortal para el enfermo que será atendido por un médico que no tuvo jamás en sus manos la respuesta al cuadro clínico presentado por el enfermo.

Ahora bien, si a los estudiantes de medicina y enfermería se les dán todas las respuestas a todos (o la gran mayoría) de los problemas que puedan encontrar en la práctica, ¿por qué se les va a negar ese mismo privilegio a los estudiantes en las carreras de ciencias e ingeniería? ¿Por qué razón ellos habrán de ser diferentes?

Naturalmente, la inclusión de las respuestas y soluciones a los problemas propuestos en una obra en Internet o en un libro impreso no deben ser utilizados como un atajo para no aprender a pensar por cuenta propia. El estudiante, si realmente quiere aprender, debe hacer un esfuerzo por tratar de resolver primero cada problema, y solo debe echarle un vistazo a la solución cuando haya terminado de resolverlo "según él". Y si la respuesta resulta ser diferente, entonces debe aprovechar la oportunidad de contar con la respuesta para examinar la solución correcta con el fin de localizar la fuente de su error. Y al localizar la fuente de su error, es posible que aprenderá algo nuevo que le dará una "iluminación".

Libros de ciencias e ingeniería publicados por casas editoras como Limusa-Wiley, Prentice Hall y Addison-Wesley casi nunca dan soluciones a los problemas propuestos por los autores, y si las dan las reparten en manuales de soluciones a los cuales únicamente los maestros tienen acceso, lo cual no beneficia en nada a los estudiantes que van a graduar de cada materia con lagunas enormes en las cuales hubo mucho material que no cubrieron en su tiempo de clase, ya que la gran mayoría de los maestros que cuentan con esos manuales de solución no tienen tiempo en sus clases para cubrir todos los problemas que vienen puestos al final de cada capítulo de cada libro, algunos apenas alcanzan a cubrir unos cuatro o cinco problemas de un capítulo que generalmente consta de unos treinta, cuarenta o cincuenta problemas, agravado por el hecho de que la gran mayoría de los autores frecuentemente incluye más material de estudio y más problemas que los que se alcanzan a cubrir en un semestre o un año de estudios, dejándole al maestro o a los alumnos la difícil tarea de adivinar cuáles son los problemas verdaderamente importantes para su educación y cuáles son los problemas que podrían clasificarse como "problemas de relleno". Anteriormente estas casas editoras se podían escurrir con estas prácticas y seguir vendiendo sus libros porque los libros de texto publicados por ellas eran en muchas ocasiones la única opción de material de aprendizaje. Pero hoy con la llegada de Internet se posibilita hacerle la competencia a estas casas editoras publicando libros de texto completos que, por vez primera, pueden incluír las soluciones completas a los ejercicios propuestos. Y cualquier estudiante ávido de estudiar y de aprender, muy en especial el estudiante autodidacta que no tiene a su alcance un maestro que lo pueda ayudar aclarándole sus dudas, preferirá mil veces la lectura de un libro que contiene la solución completa a todos los problemas propuestos que un libro que solo trae las respuestas a los ejercicios pares o impares en la parte trasera o peor aún que no trae respuesta alguna. Y en realidad, si tenemos ya a Internet, ¿quién necesita realmente los libros costosos publicados por estas casas editoras que, al no incluír respuestas y soluciones, necesariamente deben ser calificados y clasificados como obras incompletas? En esto, los efectos de Internet para revolucionar la diseminación abierta de los conocimientos apenas se están comenzando a sentir, y es muy posible que en menos tiempo del que nos imaginamos algún maestro comience a publicar en Internet, en español, cuadernos de aritmética equivalentes en todos respectos a los cuadernos Gader usados en la escuela primaria, con la diferencia de que su libro contendrá las soluciones y las respuestas a todos los ejercicios de aritmética propuestos, con lo cual libros y cuadernos de ejercicios como los cuadernos Gader y sus sucesores e imitadores habrán de morir una muerte natural por obsoletos, víctimas de su propia obsolescencia e inutilidad, incapaces de poder competir con mejores alternativas.

En lo que a mí respecta, yo jamás insultaré a ninguno de mis lectores metiendo problemas y ejercicios en publicaciones mías de carácter técnico y científico en los cuales no proporcione respuesta alguna. Todos los problemas vendrán acompañados con su solución o respuesta, y si hay algún problema que no incluya esto entonces se le añadirá al problema la respuesta o en caso contrario el problema será eliminado, borrado por completo, desaparecido de la faz del planeta, como espero que ocurra con esos prehistóricos cuadernos Gader y sus imitadores a los cuales les debo muy poco o mejor dicho nada en mi preparación como físico-matemático.