Amenizando el aprendizaje de las matemáticas

Sin lugar a dudas una de las materias más temidas en la escuela desde los primeros grados hasta los estudios universitarios es Matemáticas.

El aprendizaje de una materia tan abstracta basada en símbolos al principio extraños para un lenguaje con amplio vocabulario que va incrementando con cada vez más y más símbolos nuevos en cada grado sucesivo da la impresión de que se trata de aprender alemán o chino pero con un diccionario grueso en el que no caben todas las palabras del idioma que se quiere aprender.

En realidad las matemáticas nunca han sido una materia fácil, y los exámenes de fin de curso al terminar el año escolar son los que más nerviosos ponen a la mayoría de los alumnos.

En virtud de mi experiencia como físico matemático (no es posible aprender física al igual que muchas otras materias propias de las ciencias básicas y las ingenierías sin entender los conceptos matemáticos que se usan en cada rama del saber), creo que puedo afirmar sin lugar a dudas que el mundo está lleno de MALOS maestros que por su falta de entusiasmo hacen una materia de por sí nada fácil en algo mucho más temible.

El principal error que se comete es ir imprimiendo en los alumnos de un salón de clases la idea equivocada de que para poder aprender matemáticas se necesita al menos una memoria privilegiada para poder recordar muchas fórmulas.

El énfasis arcaico (antipedagógico) en la memorización de fórmulas que en la mayoría de los escolapios solo les pueden quedar grabadas en el cerebro mediante una repetición constante de lo mismo y lo mismo una y otra vez lo suficiente como para convertirse en algo aburrido y empezar a confundirse, produce en muchos de ellos la noción equivocada de que para poder ser un buen matemático se requiere de una MEMORIA privilegiada para poder entender lo que son las matemáticas. ¿Acaso no es cierto que desde la escuela primaria hay que aprenderse de memoria las tablas de multiplicar? Quien no se ha aprendido bien las tablas de multiplicar tendrá dificultades para poder dominar esa rama de las matemáticas que llamamos ARITMETICA que se dedica al manejo exclusivo de operaciones con números, y no podrá efectuar "a mano" (sin recurrir a una calculadora, usando solo lápiz y papel) divisiones largas y mucho menos otras operaciones aritméticas como el poder encontrar el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo sin lo cual no se pueden efectuar muchas operaciones aritméticas que involucren quebrados (fracciones decimales). Y basta con equivocarse en una sola cifra intermedia, como tomar el producto de 7 por 8 como 54 en vez de 56. Un alumno listo se dará cuenta de que si tiene problemas con este producto, entonces le basta con memorizar que 7 por 7 es igual a 49, y que 8 por 8 es igual a 64. Como 7 por 8 es lo mismo que 7 por 7 sumándole posteriormente 7 (y del mismo tenor es lo mismo que 8 por 8 restándole 8 es lo mismo que 8 por 7, entonces necesariamente 7 por 8 necesariamente tiene que ser un número mayor que 7 por 7, y menor que 8 por 8).

7 × 7   +  7   =  49 + 7 = 56

8 × 8   -  8   =  64 - 8 = 56

Pero estos trucos de aritmetización no son cosa de MEMORIA, son cosa de ENTENDIMIENTO. Lamentablemente, lo que se mide en los exámenes escolares y las tareas cuando se aprenden las tablas de multiplicar (sin la ayuda de trucos) es la capacidad humana para MEMORIZAR (al igual que el loro que repite lo que escucha sin saber el significado de lo que dice) y efectuar operaciones SIN COMETER EQUIVOCACIONES. Y como se dijo, basta equivocarse en una sola cifra, por ejemplo leyendo 3 en lugar de 8 o leyendo 9 en lugar de 4 (como ocurre en quienes padecen algún grado de dislexia o que no escriben números lo suficientemente claros para distinguirlos bien) para obtener el resultado incorrecto, y basta obtener varios resultados incorrectos para reprobar el examen o la materia cuando se trata de un examen final. Se puede entender la frustración, sobre todo cuando se tiene progenitores que escondiendo sus boletas de calificaciones presionan a los hijos para que destaquen en la materia considerada la más difícil de todas.

Peor aún, el imponer en los exámenes un tiempo límite para poder llevar a cabo cierta operación aritmética que cuando se hace a toda prisa casi garantiza una respuesta incorrecta (es más fácil equivocarse cuando se hace algo "a la carrera" con el tiempo encima que tomándose el tiempo que se requiera.)

Aún se recuerdan en México unos libros centrados más que nada en ejercicios a ser realizados en tiempo límite con las cuatro operaciones básicas: suma, multiplicación, división y resta, y supuestamente por fungir como apoyo al maestro de primaria, su nombre era precisamente el ser más que nada “cuadernos Gader”, ideados por Valentín Rincón. Esta metodología consideraba mejores a los alumnos que podían llevar a cabo con la mayor rapidez que otros las operaciones aritméticas básicas, una habilidad supuestamente lograda con la ayuda de ejercicios cronometrados y en base a tal modo de enseñanza se repartían las calificaciones, con diez para los más rápidos y bajando al seis para los más lentos, y reprobando aquellos "malos estudiantes" que no podían funcionar como calculadoras humanas, enfatizando algo que se espera desde las calculadoras de bolsillo hasta las computadoras: la mayor rapidez posible, con cero entendimiento por su naturaleza de máquinas. En realidad, muchos de aquellas épocas aprendieron a odiar las Matemáticas por culpa de esos libros cuyo objetivo era mecanizar las neuronas del cerebro convirtiendo a la mente en un artefacto. “Aquellos ejercicios de los viejitos Gader solían desalentar al más matado”, se queja Carlos Bosch, matemático doctorado en Análisis Funcional de la Universidad de Lyon, Francia, profesor del ITAM y quien ha dado talleres para alumnos de sexto de primaria: “Nací en 1950 y recuerdo a los Gader por los años sesenta y tantos, aunque el problema que tenían es que eran sólo cuadernos de ejercicios, repetitivos, mecánicos y no iban a la esencia de las matemáticas que son las ideas, la formación Se tenían que hacer 40 mil multiplicaciones, 30 mil divisiones, etcétera Y las matemáticas tienen un componente que es el formativo y eso no lo poseían”. La mecanzación de la Aritmética en los cuadernos Gader se puede comparar con los procedimientos para sacar la raíz cuadrada de cualquier número (por ejemplo, 7314.5824) sin la ayuda de una calculadora de bolsillo. El procedimiento antiguo para obtener la raíz cuadrada involucra la memorización de ciertas operaciones que se tienen que llevar a cabo en orden, de cierta manera, y cuya razón de ser jamás se les explica a los alumnos, son algoritmos (algo semejante a las recetas de cocina) o repeticiones de pasos que se tienen que aprender de memoria igual que los pericos y loros (dicho sea de paso, el procedimiento mecánico para obtener la raíz cuadrada de un número sin la ayuda de una calculadora de bolsillo se detalla en el Capítulo 10 de un libro que escribí y que subí a Internet disponible en el enlace Diseño y Programación de Computadoras), y se tienen que llevar a cabo sin darles a tales procedimientos justificación de razonamiento alguno, confiando en tales procedimientos mecánicos como si fueran actos de fé o dogmas, como si fueran revelaciones venidas de un maestro que tampoco sabe de donde vinieron tales procedimientos y que lo toma como verdad incuestionable solo porque el maestro del maestro a fuerza de castigos lo obligó a aceptar como cierto todo lo que le mostraba en el pizarrón sin cuestionar nada. O sea, sin necesidad de tener que pensar (replicando a las calculadoras de bolsillo que tampoco piensan.)

Cuando supuestamente se ha aprendido lo esencial de la Aritmética, lo que viene después es aún peor para los alumnos que aprobaron la materia de Aritmética, porque involucra FORMULAS que hay que aprenderse DE MEMORIA. Estamos hablando de la materia de GEOMETRIA. Hay que aprenderse de memoria muchas de tales fórmulas sin cuestionarlas, y si olvidamos el orden de cualquier cosa entonces al efectuar el cálculo de algo como el área de un polígono regular aunque todas las operaciones aritméticas se efectúen correctamente se obtendrá una respuesta errónea, con demérito en la calificación y un aumento en la frustración del estudiante.


La Geometría en los tiempos de los griegos hace miles de años


El aprendizaje de las matemáticas no tiene por que ser árido y doloroso, sino que, en manos de un buen programa escolar y buenos maestros, de hecho puede ser algo muy divertido, y qué mejor ejemplo de ello que la Geometria tal y como fue desarrollada en los tiempos de griegos tan connotados como Pitágoras, Arquímedes y Tales de Mileto., y desde luego el mejor maestro de todos, Euclides. Para volver ameno el aprendizaje podemos empezar con los principios mas básicos utilizados por los geómetras griegos (hoy conocidos como axiomas o "verdades auto evidentes") y aplicando tales principios podemos plantear a los estudiantes algunos retos para que descubran por cuenta propia cómo pueden resolver o responder tales retos usando únicamente esas los axiomas básicos y las herramientas de dibujo (vara recta no-graduada y compás). Los griegos de la antigüedad no conocían ni siquiera el álgebra (esta fue inventada mucho tiempo después por un árabe) y ni siquiera conocían el sistema métrico decimal (este es un invento relativamente reciente, y por lo tanto los griegos de ese entonces no podían efectuar operaciones aritméticas tan elementales para nosotros como multiplicar o dividir con precisión ilimitada.) Las matemáticas que desarrollaron los griegos fueron lo que hoy se conoce como matemáticas constructivas, ¡Y se la pasaban dibujando! Figuras geométricas, claro está, como triángulos, círculos, pirámides, etc. Les gustaba plantearse problemas que pudieran "resolverse" usando los dos únicos instrumentos que poseían para desarrollar su arte: una vara recta (lo más recta posible) y un compás. De hecho, los griegos de ese entonces no usaban los compases como los compases escolares que tenemos hoy y como los conocemos (no había fabricas de compases en ese entonces), para ellos el equivalente de un compás era un hilo resistente que no pudiera ser estirado en uno de cuyos extremos estuviera atado un alfiler o objeto puntiagudo y en el otro extremo pudiera estar enrollado a un lápiz con punta muy afilada o cualquier objeto puntiagudo con el que se pueda hacer una marca visible (en ese entonces ni siquiera los lapices existían.)

Los procedimientos al tanteo (aproximación sucesiva por error) no eran ni son admisibles en la geometría clásica de los griegos, porque no hay método de demostración para darle certeza absoluta a algo que se hace al tanteo (por intentos de prueba y correcciones de error).

El objeto más sencillo que podamos concebir en la geometría es una linea recta, lo mas recta posible, como la siguiente que pasa por los puntos P y Q:

Para ser precisos, definimos una recta como la menor distancia entre dos puntos. Esta definición nos garantiza que la linea será "lo más recta posible" por el simple hecho de que cualquier otra recta que pase por los dos puntos dados P y Q y que sea más larga que la recta mínima no es realmente una linea recta ideal, ya que en algún lugar deberá de tener una "abolladura" que la haga más grande. Ahora viene lo bueno. Dada cualquier recta como la anterior, ¿cómo podemos subdividir la recta en dos partes iguales en el sentido de que la suma de las longitudes de ambas será exactamente igual a la de la recta original? Esto nos parece fácil de responder: medimos la distancia que hay entre P y Q, y lo que nos dá, por ejemplo 3.17 centímetros, simplemente lo dividimos entre 2 para obtener 1.585. Sin embargo, los griegos no usaban reglas graduadas porque se repite que no se había inventado el sistema métrico decimal cuando ellos vivían, y no solo no podían medir, ni siquiera podían "dividir" aritméticamente (todavía no sabemos cómo le hacían). Por otro lado, ¿como es posible confiar en que podamos "leer" con nuestros ojos la última cifra significativa 7 de 0.17 que vendría siendo siete décimas de milímetro? ¡Ni siquiera con las reglas escolares graduadas de hoy podemos hacer tal cosa! Bueno, si tenemos el equivalente de un compás, podemos subdividir exactamente la recta dada en dos partes iguales (en principio, nuestra exactitud limitada únicamente por lo fino de los trazos geométricos) mediante el siguiente procedimiento constructivo. Esta es la manera de hacerlo:

Hechos los cuatro trazos con el compás, basta trazar otra linea recta que atraviese arriba y abajo la intersección de dichos trazos, o sea la linea perpendicular a la recta entre P y Q, y tendremos la subdivisión deseada, ¡sin necesidad de tener que usar una regla graduada ni tener que andar haciendo operaciones aritméticas! Una recta asi trazada que divide a otra recta en dos partes iguales es conocida como mediatriz. ¿Pero qué nos garantiza que la recta perpendicular trazada, la mediatriz, dividirá exactamente en dos la recta original? Después de todo, si tras un proceso de construcción sumamente preciso una de las dos rectas resultara ser una diezmilésima de milímetro mas grande que la otra recta, ello jamas lo detectaríamos a simple vista con el ojo, tal vez ni siquiera con un buen microscopio, Bueno, aquí es donde tenemos que demostrarlo recurriendo a argumentos lógicos fáciles de entender, usando argumentos sencillos que no dejen lugar a la duda.

Una vez introducido el concepto constructivo, usando vara y compás, de subdividir una recta dada en dos partes iguales, es el momento ideal de ponerle un reto interesante a los alumnos: ¿cómo podemos subdividir la recta dada en tres partes iguales en el sentido de que la suma de las longitudes de las tres partes será exactamente igual a la de la recta original? A primera vista, esto no parece posible usando simplemente un compás, pero una posibilidad se abre si debajo de la recta PQ trazamos otra recta más pequeña que conste de tres partes iguales (esto lo podemos hacer construyendo tal cosa con la vara y el compás.) Trazando con la vara lineas rectas que unan los extremos y los puntos interiores de ambas rectas, las subdivisiones de la recta inferior serán "pasadas" a la recta superior, con lo cual la recta PQ quedara subdividida en tres partes. ¿Pero son iguales? Esto tenemos que demostrarlo, o de lo contrario nunca estaremos seguros de ello. Es por esto que los procedimientos de demostración son indispensables para apoyar lo que estamos viendo y que puede ser engañoso si confiamos solo en nuestra vista (las ilusiones ópticas demuestran lo fácil que es engañar a los sentidos.) Si no se puede demostrar lo que estamos suponiendo como cierto, entonces no necesariamente tiene que ser cierto, puede que lo sea pero tal vez no lo sea.

Habiendo aprendido la manera en la cual podemos subdividir constructivamente (usando los instrumentos del dibujo técnico como una escuadra y un compas) una recta dada en dos partes iguales, el siguiente paso consiste en aprender a subdividir un angulo en dos partes iguales (usando el compás, desde luego, recuérdese que los griegos no habían inventado el transportador ni tenían nada con que medir los ángulos, motivo por el cual lo que para nosotros es algo facilisimo para los griegos no era una opción.)

No es muy difícil subdividir un angulo en dos ángulos exactamente iguales, mediante un procedimiento constructivo para encontrar la bisectriz del ángulo. El siguiente video nos muestra dos métodos diferentes para lograr tal cosa:





Sin embargo, lo difícil, o mejor dicho, imposible (usando únicamente una vara recta sin graduación y un compás) resulta ser el problema de subdividir un angulo en tres ángulos exactamente iguales.

El reto de subdividir un ángulo en tres ángulos exactamente iguales parece un problema sencillo y soluble. Sin embargo, desde los tiempos de los griegos nadie ha podido encontrar la manera de hacerlo usando únicamente una vara recta sin graduación y un compás. Darle esto como reto a los alumnos es una buena manera de mantenerlos entretenidos y dejarlos que descubran por cuenta propia que hay ciertas limitaciones que no se pueden vencer si se tiene que trabajar bajo ciertos métodos o filosofías. En la actualidad, lo mas práctico si queremos subdividir un angulo en tres partes iguales, es recurrir a un transportador, y si se mide un ángulo de, digamos, unos 30 grados, pues simplemente con el mismo transportador trazamos ángulos de 10 grados. Este problema irresoluble es conocido como el problema de la trisección del ángulo.

Me es un misterio e ignoro cuándo empezó la mala costumbre de requerir en muchas escuelas el aprendizaje de fórmulas usando para ello únicamente la memoria y obligando a aceptar dichas fórmulas como si fuesen dogmas sagrados, sin cuestionamiento alguno. Lo más fácil de aprender bajo tal esquema de memorización tal vez sea el área de un rectángulo que se obtiene simplemente multiplicando su base por su altura. Pero ya después viene el aprendizaje del área de un círculo (definida como el espacio comprendido dentro de una circunferencia) en donde hay que MEMORIZAR que tal área se obtiene elevando el radio R del círculo al cuadrado, y hecho esto multiplicar lo que se obtenga por una constante numérica al principio misteriosa llamada Pi (la palabra viene de una de las letras del alfabeto griego, y suele suceder que no se le explica a ningún alumno de donde salió ese numero) y representada como π sin saber qué es lo que realmente representa esa constante numérica. La fórmula que se usa para calcular el área A de un círculo cuando se conoce el radio r del círculo:

A = πr²

es apenas la primera fórmula de muchas otras que habrá que aprenderse de memoria sin saber de dónde vino. Un buen maestro les dará a sus alumnos una demostración en clase en la que les pedirá que usando un hilo midan la longitud de la circunferencia C de una rueda grande (algo como una llanta), y hecho esto les pedirá que midan el diámetro C de dicha circunferencia, y finalmente les pedirá que dividan lo que mide la circunferencia C entre el diámetro D, y descubrirán por cuenta propia que sin importar el tamaño del círculo siempre se obtendrá el resultado de que la circunferencia mide aproximadamente el triple de lo que mide el diámetro. En pocas palabras, descubrirán que se trata de una CONSTANTE UNIVERSAL. Y el maestro les aclarará que no es exactamente el triple sino "un poquito más", O sea 3.1 veces más grande. Y con mayor precisión unas 3.14159 veces más grande. Los alumnos inquisitivos que se den cuenta de que no es posible obtener las últimas dos cifras significativas "59" usando una cinta de medir, se preguntarán de dónde salió tal información que no es posible detectar con el ojo con una cinta de medir. Ciertamente no de algún iluminado que hizo tal revelación a la humanidad. Sin duda alguna se asombrarán entonces cuando el maestro de GEOMETRÍA les diga que la constante numérica universal π es una constante aritmética INFINITAMENTE GRANDE en su extensión. Esto no significa que π sea algo que medido con cada vez mayor precisión vaya aumentando su "peso", no es mucho el margen de error cuando se utiliza 3.1416 en vez de 3.14159, simplemente nos dá mayor PRECISIÓN en su valor natural real. Y se les dejará intrigados con la aclaración de que para determinar cada cifra significativa de π se requiere del uso de matemáticas superiores, con las que los geómetras de la antigua Grecia no contaban, con lo cual se les dejará con la curiosidad y con la duda, o sea con una razón para seguir explorando el tema por cuenta propia ya sea leyendo o aprendiendo esas matemáticas superiores en cursos más avanzados en donde aprenderán el concepto de series infinitas que se pueden usar para calcular π con la precisión que se quiera. Puesto que el número π tiene una cantidad infinitamente grande de cifras significativas, en ningún libro del Universo lo encontraremos escrito dicho numero en su totalidad, y puesto que su extensión en cifras significativas es ilimitada, se le llama trascendente o trascendental, ya que trasciende más allá de los limites de la comprensión humana y nuestros sentidos, expresión que nos viene de los Matemáticos griegos de los tiempos de Euclides que se rehusaban a creer en la existencia de tales números infinitos en su extensión que, como la raíz cuadrada de 2 (la cual es aproximadamente igual a 1.4142), "trascienden" a nuestra realidad.

La determinación experimental de π usando únicamente una cinta de medir requiere desde luego el trazado de un círculo EXACTO, ya que este método no funciona con elipses (circulos achatados), óvalos o cualquier otra figura diferente a un círculo perfecto. En los siglos XVII y XVIII, los matemáticos James Gregory y Gottfried Leibniz afirmaron haber descubierto una serie infinita que sirve para calcular π en forma EXACTA si se utiliza una cantidad infinita de términos:

Hagamos una suma de los primeros cuatro términos, sabiendo que:

4/3 = 1.33333333333333333333333333333333

4/5 = 0.80000000000000000000000000000000

4/7 = 0.57142857142857142857142857142857

La suma (tomando en cuenta los signos positivos y negativos en cada término) de los primeros cuatro términos de la serie resulta ser:

2.8952380952380952380952380952381.....

Esto no parece ser el número π, porque la primera cifra significativa no es 3. Tal vez sumando más términos de la serie podamos obtener una mejor aproximación a π. Hagamos la evaluación de la serie con seis términos:

4 - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + ...

= 2.81443001443001443001443001443

Esto no parece estar más aproximado al número π, sino de hecho parece estar más alejado de la respuesta que estamos buscando. Si agregamos a lo anterior el séptimo término de la serie sumándole 4/13, obtenemos:

3.1221223221223221223221223221223

lo cual sí parece estar más cercano a π. ¿Pero cómo sabremos si la serie infinita realmente produce el número π, habiendo obtenido nuestra primera sorpresa desagradable al usar seis términos? ¿Qué nos garantiza que tras el término mil millones de la serie empezará a alejarse cada vez más y más del valor exacto del número π? Sobre todo cuando tanto James Gregory como Gottfried Leibniz nos afirmaron que para obtener el el número π en forma exacta hay que sumar una cantidad infinitamente grande de términos, algo para lo cual nuestras vidas -medidas en tiempos finitos- no alcanzarán para la comprobación puramente aritmética de la validez de la serie. Obviamente, no llegaron a tal conclusión en una época en la cual no existían las calculadoras de bolsillo, ya no se diga las supercomputadoras. Tuvieron que haber llegado a tal conclusión usando otros trucos, otros métodos de demostración de que lo que se supone como cierto realmente lo es y no una mera ilusión. Y de eso es precisamente de lo que tratan las Matemáticas. Se nos tiene que convencer (o convencer a otros) mediante un razonamiento lógico libre de equivocaciones y errores (tales como la división por cero de que por las muchas maneras en las que se disfraza algún paso en falso suele ser una trampa mortal de los matemáticos novatos) de que la serie Gregory-Leibniz (como es llamada) es realmente una verdad matemática y no una falsedad, preferentemente usando medios de demostración finitos porque nadie tiene tiempo infinito de vida para la verificación de un enunciado matemático que involucre una cantidad infinitamente grande de pasos.

No se puede confiar en meros resultados numéricos (obtenidos con la ayuda de calculadoras de bolsillo, calculadoras científicas, computadoras o supercomputadoras) para obtener verdades matemáticas. Supóngase que un estudiante universitario despistado nos presenta lo siguiente reclamándolo como su "descubrimiento":

Si usamos una calculadora científica que tenga la capacidad para calcular logaritmos base 10 de algún número, encontraremos que al evaluar numéricamente el lado izquierdo de la igualdad anterior en efecto, obtenemos algo cercano a 0.5 (que es lo mismo que 1/2):

log₁₀ (π) = 0.4971498726941338543512682882909

Esto, en efecto, si redondeamos el número, vemos que es un número muy cercano a 0.5 que es lo mismo que 1/2. Aquí podemos sentir la tentación de darle el beneficio de la duda al estudiante habido el inconveniente de que en el mundo real ninguna calculadora puede almacenar la cadena infinita de cifras significativas de la que consta π. Sin embargo, al no presentarnos el estudiante una prueba formal sobre cómo llegó a su "descubrimiento" excepto experimentando a solas muchas horas en una calculadora científica de alta precisión su hipótesis, tenemos motivos fundamentados para desconfiar de sobra. Y en efecto, se trata de una FALSEDAD. Interrogando a fondo, el estudiante nos revela que descubrió experimentalmente que si multiplicamos el número π por sí mismo (o sea, elevándolo al cuadrado) el resultado numérico parece ser algo muy cercano al número 10:

                             π² = 10

El estudiante nos puede argumentar que, teniendo π una cantidad infinitamente grande de cifras significativas, si tuviésemos una calculadora o computadora capaz de evaluar cantidades infinitas entonces el resultado de la operación π² nos produciría, en efecto, el número 10. Si caemos en la tentación (o mejor dicho, la trampa) de evaluar con una cantidad cada vez mayor de cifras significativas de π el producto de π por π, podemos ver que entre más cifras significativas se utilicen en la multiplicación aritmética para calcular el producto nos iremos acercando cada vez más al número cardinal 10:

3 × 3	= 9.0
3.1 × 3.1	=9.61
3.14 × 3.14	= 9.8596
3.141 × 3.141	= 9.865881
3.1415 × 3.1415	= 9.86902225
3.14159 × 3.14159	= 9.8695877281
3.141592 × 3.141592	= 9.869600294464
3.1415926 × 3.1415926	= 9.86960406437476
3.14159265 × 3.14159265	= 9.8696043785340225
3.141592653 × 3.141592653	= 9.869604397383578409
3.1415926535 × 3.1415926535	= 9.86960440052517106225
3.14159265358 × 3.14159265358	= 9.8696044010278258868164
3.141592653589 × 3.141592653589	= 9.869604401084374554580921

Aquí se vuelve obvio que conforme más cifras significativas se vayan utilizando la rapidez de convergencia hacia el número 10 va disminuyendo. ¿Llegaremos al número 10 si pudiéramos usar una cantidad infinitamente grande de cifras de π? Tal vez. O tal vez no. Y ningún matemático por buen aritmético que sea tratará de hacer a mano todas las operaciones aritméticas de multiplicación usando, digamos, las primeras mil trillones de cifras significativas para π, porque nadie tiene ni la paciencia ni el tiempo ni la cantidad de lápices y papel en blanco para efectuar tal proeza en la que basta equivocarse en una sola cifra intermedia para echar a perder el resultado final. Por otro lado, no existe en toda la literatura científica moderna (y saber esto requiere estar al tanto en forma actualizada de todos los avances matemáticos) ninguna aserción de que el cuadrado de π produce el número 10. Pero no es imposible indagar sobre cómo obtuvo el estudiante su "descubrimiento" partiendo de su "axioma" que en realidad debe ser clasificado como un teorema que tiene que ser demostrado antes de aceptar el enunciado como cierto ya que la "verdad" del mismo no es tan "evidente" a simple vista:

En los pasos intermedios no hay ningún error o equivocación, todo está de acuerdo a las "reglas del juego". Sin embargo, arriba se usó como punto de partida una premisa falsa, y lo que suele suceder es que si la información de entrada es basura el resultado final también será basura (en la lengua inglesa tienen un acrónimo para esto en las ciencias computacionales, GIGO, Garbage In Garbage Out).

En lógica, no es posible obtener (excepto por accidente) un enunciado VERDADERO, correcto, si tomamos como punto de partida una FALSEDAD.

El infinito suele ser una fuente inagotable de paradojas matemáticas, y los matemáticos le tienen tanto respeto y temor como al mismo Diablo. Supóngase que alguien dándoselas de sabihondo nos sale con un enunciado como el siguiente

La suma de una cantidad infinitamente grande de términos numéricos finitos eventualmente produce una cantidad infinitamente grande.

Si esto siempre fuera cierto, entonces no existiría el cálculo infinitesimal. Para desmentir a ese despistado, aquí podemos usar de inmediato la serie de Leibniz para rebatir tal aserción y descartarla como falsa suponiendo desde luego que podamos probar y quedar satisfechos de que la serie sea verdadera, ya que una falsedad no nos puede conducir a algo verdadero El manejo de lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño es de lo que trata precisamente el cálculo conocido como el Cálculo Infinitesimal, porque maneja infinitésimos. Dentro de dicha materia, la operación de integración no es más que la suma de una cantidad infinitamente grande de cantidades infinitamente pequeñas (infinitésimos) que hoy se les llama diferenciales (el concepto esencial sigue siendo el mismo.) Y es precisamente de donde salen las fórmulas para obtener volúmenes de ciertas figuras geométricas que no pueden ser obtenidas con razonamientos puramente geométricos como los del griego Euclides. De hecho, el símbolo de integral ∫ es en realidad una letra S deformada (alargada) para indicar que se trata de la suma no de una cantidad infinitamente grande de cantidades finitas (lo cual sí puede producir una cantidad infinitamente grande) sino de cantidades infinitamente pequeñas cuya suma «∫» produce una cantidad finita, algo que rara vez es mencionado cuando los alumnos son introducidos por vez primera al cálculo infinitesimal. Fue precisamente el tener que lidiar con las paradojas del infinito lo que llevó a Georg Cantor a inventar el concepto de los números transfinitos que a su vez nos llevó a la teoría de conjuntos (algo que tampoco es mencionado cuando los alumnos son introducidos por vez primera a la teoría de conjuntos) al tener que lidiar con conjuntos con una cantidad infinitamente grande de elementos. En el espíritu original de la teoría de conjuntos se trata de hablar de cosas como el número alef₀ que ni siquiera puede ser escrito y mucho menos manipulado por calculadora alguna por muy supercomputadora que sea. Son conceptos que estiran la banda elástica de las Matemáticas hacia regiones y cosas con las que la mente humana difícilmente puede lidiar, y mucho menos entender. cuando se está acostumbado a manejar cantidades puramente finitas que por grandes que sean se pueden medir (como las cantidades astronómicas tales como el tamaño de una galaxia o la cantidad de átomos y moléculas que componen el planeta Tierra.)

Otro buen ejemplo del aprendizaje que obliga a recurrir a la MEMORIA en vez del ENTENDIMIENTO es el Teorema de Pitágoras que nos dice que "en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b del triángulo rectángulo":

¿Y de dónde sacó Pitágoras esta conclusión seis siglos antes de Cristo cuando ni siquiera se había inventado el álgebra (obsérvese que lo anterior es una formula algebraica)? ¿Le llegó acaso por revelación divina de los dioses del Olimpo? Desde luego que no. En Matemáticas no hay lugar ni para los dogmas numéricos ni los actos de fé. Las Matemáticas no aceptan como cierto nada que no se pueda demostrar de alguna manera convincente que no deje lugar a dudas, nada que no se pueda ENTENDER.

Un mal maestro usando la didáctica equivocada obligará a sus alumnos a que se aprendan DE MEMORIA alguna derivación o demostración del Teorema de Pitágoras, lo que ciertamente les hará aborrecer aún más las Matemáticas porque se les requiere aprenderse casi de memoria varios pasos en cierto orden como si fuera un verso en símbolos en lugar de entender el por qué esto es válido aquí en la Tierra y en otro extremo de la galaxia.

De hecho, cuando Pitágoras enunció su famoso teorema, no lo hizo escribiendo la fórmula que se le atribuye, porque en su tiempo ni siquiera se había inventado el álgebra necesaria para escribir fórmulas. Todo lo contrario, lo hizo recurriendo a conceptos puramente geométricos, en este caso el concepto del área. Su afirmación fue ésta (más o menos): "El área (h²) del cuadrado que se forma tomando la longitud h de la hipotenusa como la longitud h de la base de un cuadrado cuyo otro lado (el lado perpendicular) debe tener la misma longitud h (al dar por hecho que se trata de un cuadrado) es igual a la suma de las áreas (a² y b²) de los cuadrados que se obtienen a partir de los catetos a y b del triangulo rectángulo":

O sea, en la figura de arriba, el área del cuadrado gris es igual a la suma de las áreas contenidas en el cuadrado rojo y el cuadrado azul. El teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos, y se vale recurrir al álgebra aunque no es indispensable para el propósito de demostrar el teorema. Una de las causas de esto (muchas y muy variadas demostraciones de todo tipo del teorema de Pitágoras) es que en la Edad Media se exigía a los aspirantes descubrir una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos". Algunos autores proponen que se han logrado hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythogorean Proposition. Casi imposible aprenderse de memoria cada una de estas demostraciones. Es mil veces mejor comprender algo que nosotros mismos podamos reproducir varios años después por cuenta propia sin tener que recurrir a ningún libro de texto. En mi caso, lo que más se me facilita a mí (y esta es una cuestión personal) es dibujar un triángulo rectángulo poniendo su hipotenusa en la parte inferior y trazando una altura que a simple vista dividirá el triángulo rectángulo original en dos triángulos semejantes (este término intimidante la única idea que conlleva es que si dos figuras geométricas son semejantes, que no iguales, es porque uno de los triángulos se puede considerar una ampliación o reducción fotográfica del otro.) A continuación tenemos un ejemplo de tres triángulos diferentes que no son iguales pero que son semejantes (congruentes):

Metiendo un triángulo dentro de otro, podemos ver que en efecto, se trata de triángulos semejantes:

Y de hecho, podemos dar una definición de lo que son los triángulos congruentes, si nos damos cuenta que los tres triángulos originales, aunque tienen todos sus lados desiguales (no vemos dos lados con la misma longitud, todos los lados son diferentes), se pueden obtener el uno del otro mediante un simple proceso de ampliación (o reducción) fotográfica. Sin embargo, bastaría con que uno solo de los triángulos tenga un ángulo interno un poco más grande o un poco más chico para que dicho triángulo deje de ser congruente con los demás. Obvio: la medida angular interna es un parámetro importante.

De este modo, un posible punto de partida para demostrar el Teorema de Pitágoras podría ser el enunciado:

Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos internos.

Esta aserción la podemos tomar como un axioma o postulado, un punto de partida válido, una "verdad absoluta", basado en la definición de lo que son triángulos semejantes. Sin embargo, si se pudiera justificar tal aserción de alguna manera por no ser la congruencia algo tan evidente, entonces sería un teorema a ser demostrado. Entonces partiendo de dicha definición, se puede obtener la siguiente conclusión (obsérvese que hemos metido una nueva definición, la de proporcionalidad):

Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados respectivamente proporcionales 

O sea que si dos triángulos son semejantes, y uno es dos veces más grande que el otro, entonces la hipotenusa de uno de ellos necesariamente será dos veces mas grande que la del triángulo más chico, y los catetos respectivos guardarán la misma proporción de dos a uno. Con tan solo esta aserción, acostando un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa y tendiendo una "altura" desde el vértice de dicho triángulo hacia la hipotenusa, el triángulo queda particionado (subdividido) en dos triángulos que serán semejantes (¡y esta es una aserción que casi pide a gritos una demostración para poder continuar adelante, la cual se puede tomar como un teorema!) Estableciendo proposiciones elementales, se puede llegar entonces en unas cuantas líneas al Teorema de Pitágoras. En pocas palabras, partiendo de un teorema cierto podemos llegar a otro teorema, y a otro, y a otro, y así se van edificando las Matemáticas. Tan fácil como parece esta "demostración", no es la que propuso Euclides porque el Álgebra no había sido inventada en los tiempos de Euclides.

Lo importante en todo caso es que la Geometría, como se enseñaba antes, era una metodología de pensamiento basada en el razonamiento y no en la memorización usando a la mente como mero depósito de datos en vez de procesadora de información. Fue cuando se retiraron los libros Los Elementos de Euclides y en vez de enseñar la Geometría entrenando a la mente en la metodología del razonamiento se empezó a obligar a los alumnos a aprenderse de memoria las fórmulas de áreas y volúmenes de figuras geométricas cuando empezaron los problemas de aprendizaje que vemos hoy y el horror que muchos adultos nacidos en los cincuentas o sesentas le tienen a las Matemáticas, incapaces de poder ayudar a sus propios hijos en algo que nunca entendieron.

Bueno, para volver ameno el aprendizaje de las Matemáticas, de vez en cuando si algún maestro cuyos alumnos están mostrando poco interés en la materia me pide mi ayuda yo tengo un "guión" para enfocar su atención con varias cosas que les dejarán la boca abierta. En primer lugar usando una tira de papel cuyos extremos estan pegados y cortandola con unas tijeras por la mitad, les demuestro que es posible hacer que dicha tira se separe no en dos tiras iguales pero de menor anchura cada una sino en una sola tira el doble de grande de la tira original. Y repitiendo la misma operación con otra tira, les demuestro cómo al terminar el recorte con tijeras lo que nos puede resultar son dos tiras entrelazadas. A estas alturas creerán que lo que acaban de presenciar es un acto de magia, pero se les aclara que no hay ninguna magia en esto, y que el efecto casi increíble que acaban de presenciar es consecuencia de las propiedades matemáticas de un artefacto inusual que se conoce como la cinta de Moebius que se estudia en una materia conocida como la TOPOLOGIA.

Hecho lo anterior, les presento la "demostración" (suponiendo que tengan conocimientos elementales del álgebra) de que 1 es igual 2, usando los mismos pasos rigurosamente lógicos desde la perspectiva del álgebra típica de las escuelas secundarias:

aclarándoles, desde luego, lo que está sucediendo aquí, y de que, por el mismo tenor, que todos los números naturales son iguales y representan la misma cantidad. Esto es para que aprendan la enorme importancia del rigorismo matemático que no debe dar nada por absolutamente cierto en cada paso de una demostración y de que se vuelve necesario decirle adiós para siempre a la trampa mortal del matemático cuando se le ocurre el pensamiento "esto me parece obvio" pese a que en realidad no solo no lo sea, y por el contrario resulte ser falso cuando se le somete a un microscopio de la lógica.

Están, desde luego, las mal llamadas "verdades evidentes", que en realidad no son tal, como el postulado de las paralelas de Euclides conocido como el quinto postulado, definidas las dos paralelas como lineas rectas que nunca se cruzan:

Por un punto exterior a una línea recta dada, solo es posible trazar una línea paralela a dicha recta.

Suena lógico, al menos para cualquier dibujante técnico que produzca planos de edificios y que esté acostumbrado al uso de la regla T. En la siguiente figura tenemos dos líneas rectas paralelas, y podemos ver que en el punto p de la recta superior solo se puede trazar una recta que también sea paralela a las dos rectas inferiores:

Después de todo, si en un pizarrón trazamos una línea recta horizontal con una regla de madera y especificamos un punto arriba o abajo de dicha línea recta, comprobamos que con la misma regla subiéndola o bajándola solo es posible trazar una recta paralela a la recta dada. Pero esto supone el plano perfecto de un pizarrón extendible hasta el infinito hacia todas partes sin deformación alguna. En nuestra imaginación en donde estamos acostumbrados al concepto del punto geométrico perfecto pese a que por definición un punto carece de dimensiones y no debería ni siquiera de existir ya que es solamente algo que nos proporciona una ubicación precisa en el espacio, no hay nada que nos impida extender ambos extremos de la recta hacia el infinito en ambos lados

El procedimiento animado del enunciado, paso a paso, empezando desde la figura anterior, es el siguiente, pasando por el trazado de la recta paralela a la recta dada (la recta inferior es la recta dada):

¿Pero qué sucede si trazamos una línea perfectamente recta sobre la superficie de la Tierra (la Tierra no es plana como algunos iletrados creían en los tiempos de Cristobal Colón), por ejemplo en el Ecuador terrestre?  ¿O, más fácil, sobre la superficie de un globo o de una esfera? Pues para una hormiga que vaya caminando sobre dicha línea recta sin salirse de ella (recta en el sentido de que la línea sobre la que camina la hormiga apunta siempre hacia adelante en la misma dirección, y de que la hormiga ve todo el tiempo que no tiene ninguna curvatura ni hacia la derecha ni hacia la izquierda), encontrará asombrada que sin dar marcha atrás en su recorrido, siempre regresará al mismo punto del cual partió, o sea que la línea recta desde el punto de vista de la hormiga no puede ser infinitamente larga porque tiene una longitud que se puede medir, tal vez en miles de kilómetros, pero se puede medir. Esta curiosidad se debe a que la línea "recta", si es trazada sobre la superficie de una esfera, tiene una curvatura en una tercera dimensión (en este caso la línea se va "pandeando" hacia el "interior", aunque la hormiga no se dé cuenta de ello.) Y si intentamos trazar otra recta sobre el plano de la esfera, definida (al igual que el Ecuador) como un círculo máximo, nos encontramos con que no es posible trazar dos rectas paralelas sobre la superficie de una esfera ya que siempre se cruzarán en dos puntos distintos. Aqui vemos tres circulos máximos (rectas trazadas sobre la superficie de una esfera) que podemos ver pueden definir un triángulo esférico:

Entre las cosas sorprendentes de la geometría esférica está el hecho de que es posible trazar un triángulo con sus tres ángulos internos midiendo 90 grados, lo cual es imposible en la geometría plana en donde es imposible usando rectas trazar ningún triángulo con sus tres ángulos internos midiendo cada uno de ellos 90 grados de acuerdo a lo que medimos con un transportador. Del mismo modo, muchos teoremas de la vieja geometría Euclideana se vienen abajo (como la vieja aserción de que "La suma de los ángulos interiores de todo triángulo siempre es igual a dos rectos es decir, a 180 grados", ya que en un triángulo trirectángulo dicha suma tiene que ser 270 grados, contradiciendo a la vieja escuela.) ¡Hasta el teorema de Pitágoras al que estamos acostumbrados se viene abajo! Los trazos sobre la superficie de una esfera nos generan una geometría completamente diferente a la de Euclides, conocida como la geometría elíptica (llamada a veces riemanniana). Pero más sorprendente aún, es que podemos proponer una tercera geometría partiendo de un enunciado contrario tanto al quinto postulado de Euclides y al de Saccheri, que vendría siendo "por un punto exterior a una recta dada no es posible trazar ni siquiera una sola recta que sea paralela a la recta dada" (si alguien lo duda, trate de hacerlo usando una silla de montar de las que se usan en las caballerias). Esta tercera geometría es lo que se conoce como la geometría hiperbólica (o lobachevskiana, en memoria del matemático ruso Nikolái Lobachevski que fue quien formalizó y presentó al mundo tal geometría por vez primera desafiando las creencias de la época que no osaban cuestionar a Euclides como la autoridad suprema en cuestiones geométricas.)

En general, algo que se supone bastante obvio, como el hecho de que por un punto se pueda trazar una cantidad infinitamente grande de líneas rectas, se le toma como un axioma. Si no parece tan obvio pero no se le puede demostrar, entonces se le considera un postulado, una proposición que se adopta sin discusión ni demostración alguna si se quiere continuar hacia adelante. Y si su credibilidad no es nada obvia, entonces estamos hablando de una conjetura, o sea un teorema a ser demostrado partiendo de los axiomas más básicos de cuya veracidad no dudamos.

Veamos esto más de cerca, en el caso de las rectas paralelas, imaginando otra linea recta que se pueda trazar pasando por dicho punto p pero que pueda ser "girada" (como si fuese un alambre sólido) en un espacio tridimensional manteniéndose todo el tiempo pasando por dicho punto p. Podemos, en principio, trazar un número infinitamente grande de líneas rectas por dicho punto que jamás se cruzarán con la recta dada.

La aserción "por un punto p exterior a una línea recta dada solo es posible trazar una línea recta paralela a dicha recta" no es la manera en la cual enunció Euclides su quinto postulado, se trata de una versión light que se puede demostrar que es equivalente a la siguiente aserción original de Euclides:

Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los "ángulos" menores que dos rectos

Esto ya no parece tan obvio como el axioma que nos dice que "entre dos puntos cualesquiera solo es posible trazar una línea recta", y por tal razón no se le llamó axioma (o sea una verdad evidente por sí sola) sino postulado (casi casi un axioma pero no tan obvio requiriendo por lo tanto de algun argumento o demostracion para aceptarlo como verdad "irrefutable"). Y como este enunciado no es tan obvio, Euclides creyó que se trataba de un teorema que de alguna manera podía ser demostrado. Sin embargo, Euclides fracasó en su intento por obtener su enunciado de aserciones más sencillas que no requieren demostración, y miles de matemáticos posteriores a él también intentaron lo mismo, pero igual fracasaron, hasta que en los tiempos de la Edad Media hizo su aparición un monje llamado Giovanni Gerolamo Saccheri, quien partiendo de algo conocido como el cuadrilátero de Saccheri postuló algo contrario a la aserción de Euclides. Y para su sorpresa, logró construir una geometría perfectamente consistente (esto es, sin contradicciones internas) que él consideró tan válida como la de Euclides. El impacto que produjo su descubrimiento es que la hipótesis de Saccheri sacudió la geometría Euclideana hasta sus cimientos porque casi todas las conclusiones que se podían sacar del mismo eran diferentes a las que se obtienen usando el postulado de Euclides. Puesto que dos versiones que se contradicen la una a la otra no pueden ser ambas verdaderas, se supone que una de las dos tiene que ser falsa. Pero en este caso, ¿cuál de los dos postulados era el falso y cuál el verdadero, el de Saccheri o el de Euclides? Si hubiera resultado que el postulado de Euclides era falso, entonces toda la geometría clásica edificada sobre los postulados de Euclides habría sido una falsedad, enviando abajo una enorme pirámide de conocimientos en la que se había confiado a lo largo de siglos. La manzana de la discordia entre ambas geometrías está en el hecho de que (y esto lo descubrió tiempo después el brillante matemático Kurt Gödel) hay ciertos enunciados en los cuales no se puede demostrar que sean decididamente ciertos o decididamente falsos, si adoptamos alguna aserción como cierta entonces podemos construír un edificio de conclusiones requiriéndose tan solo que no aparezca una manzana de la discordia dentro de cierto sistema que consista en conclusiones contradictorias. Y si suponemos como falsa una aserción y como cierta otra aserción que la contradiga, es posible que también podamos obtener un sistema completo de conocimientos de cada una, o sea también de la falsa. Ya no se pide que ciertas cosas se puedan demostrar como absolutamente falsas o verdaderas bajo cualquier circunstancia que podamos imaginar, se pide tan solo que si tales cosas o fórmulas no se pueden obtener de principios más sencillos entonces se les pueda agregar al conjunto básico de axiomas tomándolos también como axiomas (verdades) o mejor dicho, postulados, que no requieran demostración, o en este caso, que no se puedan demostrar (obtener de principios más sencillos). Esto de ir agregando a un sistema enunciados de los que no estamos completamente seguros al cien por ciento de su veracidad o falsedad porque no se puede demostrar en ellos su veracidad o falsedad es desde luego una receta para el desastre si realmente una aserción tomada inicialmente como cierta resulta ser falsa o viceversa, pero siendo la alternativa el quedar estancado sin poder desarrollar la materia de la manera usual es darse por vencido antes de tiempo. Si Euclides no hubiera incorporado su quinto postulado, la mitad de su obra no se habría escrito jamás porque depende de lo que dice el quinto postulado.

La geometría de Lobachevski es desde luego una consecuencia de aceptar como cierta la siguiente afirmación:

Por un punto exterior a una línea recta dada, es posible trazar una cantidad infinitamente grande de rectas que serán paralelas a la recta dada, o por lo menos una de ellas lo será.

Así pues, el descubrimiento de nuevas verdades matemáticas depende de las aserciones que estemos dispuestos a aceptar como punto de partida. En el caso del Quinto Postulado de Euclides que genera la geometría Euclideana, si lo suponemos falso y usamos otro postulado alterno podemos generar otra geometría completamente diferente.

Del mismo tenor, los quebrados no tienen por qué ser intimidantes ni tienen por qué ser algo para quebrarle la cabeza a los que batallan con las Matemáticas. Basta empezar con una pizza, y partiéndola en doce porciones iguales, se puede comprobar el por qué al repartirla en partes iguales entre seis personas en lugar de doce, un sexto debe ser igual a dos doceavos. De hecho, una pizza es una buena manera para que los alumnos aprendan por vez primera el verdadero significado de las fracciones o números fraccionarios. Los "quebrados" no son lo que sugiere el intimidante mote de "quebrados" como algo para quebrarle a uno la cabeza en los exámenes de fin de curso:

La consistencia de las matemáticas


Para garantizarnos a nosotros mismos que no estaremos perdiendo el tiempo en tratar de demostrar la veracidad de algo cuya contradicción después se pueda obtener aplicando los mismos principios y definiciones, queremos estar absolutamente seguros de que las matemáticas son consistentes, esto es, que no obtendremos conclusiones contradictorias partiendo de los mismos principios o axiomas. Si no fueran consistentes las matemáticas, sería inevitable la aparición de paradojas. Esto es de una importancia tan fundamental, que en el programa de Hilbert, se proponía como un asunto importante el demostrar la consistencia de las matemáticas. El asunto permaneció buen tiempo sin respuesta, dada la enorme dificultad de poder lograr con pleno rigor y formalismo tal cosa. Sin embargo, esto se logró, y la respuesta resultó ser un balde de agua fría. El matemático Kurt Godel demostró que cualquier sistema que esté formado por un número finito de axiomas capaz de expresar la Aritmética (generar los números naturales) nunca puede ser completo, ya que eventualmente habrá enunciados expresables en dicho sistema cuya verdad o falsedad no puede ser demostrada, quedando tan solo dos remedios: suponer tales enunciados como falsos o como verdaderos, y esperar a que tarde o temprano caiga por su propio peso como falso. Esto no significa que algo pueda ser al mismo tiempo falso o verdadero, tiene que ser necesariamente falso o verdadero, el problema es que no hay manera de determinar su falsedad o veracidad, ni siquiera en principio, por medios teóricos.

Supóngase por ejemplo que un matemático llamado Alfonsín, partiendo de un conjunto de 30 axiomas libres todos ellos de errores, y aplicando con mucho cuidado los procedimientos más rigurosos de la lógica, obtiene la siguiente "verdad":

Existen tres numeros primos, la suma de cuyos cuadrados produce el cubo del número π

y que otro matemático llamado Nachito, partiendo del mismo conjunto de 30 axiomas, llega al siguente enunciado que contradice el resultado obtenido por Alfonsín:

No existen tres numeros primos, la suma de cuyos cuadrados pueda producir el cubo del número π

Es fácil verificar con la ayuda de una calculadora que, con una precisión de 32 cifras significativas, el cubo del número trascendente π es:

Si llamamos a los tres números primos de los que habla el teorema de Alfonsín X, Y y Z, entonces lo que realmente se quiere probar es el siguiente entunciado:

Puesto que todos los números primos (1,2,3,5,7, 11, etcétera) son por definición enteros, el enunciado es falso porque no es posible obtener un número fraccionario (con fracción decimal) del cuadrado de un número entero, así que con esta simple observación se vuelve posible desechar el teorema de Alfonsín como falso. Lo más interesante es que para demostrar un teorema como el teorema de Alfonsín bastaría con decir de qué números primos se trata. Ciertamente no de un triplete de primos como {3,5,7}, ya que la suma de sus cuadrados es 83, lo cual excede el cubo de π en más de dos tantos. Puesto que el cubo de π no es un número grande, haciendo una lista exhaustiva de de todas las combinaciones posibles de tripletes de números primos {1,2,3}, {2,3,4}, {1,3,4}... la suma de cuyos cuadrados no excedan el cubo de π (esto descarta todos los número primos iguales o mayores que 6 porque el cuadrado de 6 es igual a 36) es muy fácil COMPROBAR que no existen tales números primos, y de este modo mediante simples cálculos numéricos agrupados en una lista encontramos que el teorema de Alfonsín se FALSO, y lo contrario, el enunciado de Nachito debe ser cierto. Sin embargo, las comprobaciones numéricas no suelen ser consideradas como una demostración formal. Considérese el teorema que afirma que la cantidad de números primos es infinita. ¿Pero cómo lo supó el griego Euclides, nacido tres siglos antes de Cristo, sin necesidad de tener que enlistar una cantidad extraordinariamente grande de todos ellos?. Bueno, aquí es en donde hay que recurrir al ENTENDIMIENTO, no a la memoria, y hay que encontrar alguna forma en la cual se  pueda saber que la cantidad de números primos es infinitamente grande sin necesidad de tener que recurrir a cálculos numéricos.

Con una precisión de 32 cifras significativas, la raíz cuadrada de 2 (que también es infinitamente grande en lo que toca a la cantidad de cifras significativas que se requieren para representarla numéricamente en forma correcta) es aproximadamente la siguiente:

√ 2 = 1.4142135623730950488016887242097.....

Supóngase que, usando axiomas elementales de lo que se conoce como la Teoría de Números, y sin cometer errores ni equivocaciones, obtenemos el siguiente enunciado:

"las primeras cien mil cifras significativas de la raíz cuadrada de pi están contenidas en algún lugar dentro de la secuencia infinita de cifras de π"

Puesto que la secuencia de cifras de π es infinitamente grande, ciertamente es posible que tal cosa ocurra, aunque se antoje de difícil verificación (arriba solo se han dado las primeras 32 cifras significativas de la raíz cuadrada de 2, y para establecer una comparación puramente numérica tendríamos que procurar de alguna manera las 99968 cifras faltantes). Pero ahora bien, supóngase que otro matemático, usando el mismo conjunto de axiomas elementales y sin cometer errores ni equivocaciones, obtiene el siguiente enunciado CONTRARIO al anterior:

"En ninguna parte dentro de la secuencia de cifras significativas de pi se encuentran las primeras cien mil cifras significativas de la raíz cuadrada de π están contenidas en algún lugar "

Son dos enunciados opuestos, contrarios. Si uno de ellos es cierto, sabemos de antemano que el otro tiene que ser necesariamente falso. ¿Pero cuál de los dos es el verdadero? En esto consiste lo que se espera de la consistencia de las matemáticas, o sea que usando el mismo conjunto de axiomas y postulados no se obtengan teoremas contradictorios. David Hilbert, obviamente preocupado ante la incertidumbre de que tal cosa pudiera ocurrir, fijó la demostración de la consistencia de las matemáticas como una de las prioridades a resolver para los matemáticos del siglo XX, y cuando lanzó tal reto ni siquiera se vislumbraba que tal demostración fuese posible. ¿Falso, o verdadero? Pero no solo está el problema de la consistencia de las matemáticas. También está el asunto de qué hacer con enunciados cuya verdad o falsedad no se pueda saber con las herramientas y conocimientos de las Matemáticas. Considérese por ejemplo, la conjetura de Fermat. El mismo Fermat nunca dejó demostración de lo mismo aunque en una anotación manuscrita afirmó que había concebido una demostración sencilla para el mismo. La búsqueda de tal demostración consumió siglos y condujo a importantes avances, pero todavía hasta el siglo XX muchos dudaban de que existiera una demostración de tal enunciado. Llegó un momento en el que, al igual que como ocurrió con el postulado de la geometría de Euclides, se contempló la posibilidad de que la conjetura de Fermat pudiese ser tomada como un axioma independiente de todos los demás axiomas de las Matemáticas, en cuyo caso se podía obtener todo un conjunto de teoremas; o bien la negación del enunciado pudiese ser incorporado dentro de las Matemáticas generando todo un gigantesco conjunto de conclusiones diferentes.

El que realmente quiera aprender en vez de perder su tiempo calentando mesabancos en el aula, cuando le presenten la fórmula para determinar el volumen de una pirámide cuadrangular y dándole la altura de la pirámide y la longitud de los lados de la base le pidan calcular el volumen de tal pirámide sin usar una calculadora de bolsillo (un problema de este tipo sin calculadora a la mano lo único que evalúa es la capacidad del alumno para efectuar operaciones aritméticos en la búsqueda de la respuesta numérica correcta), le preguntará al profesor "en vez de desperdiciar mi tiempo en operaciones aritméticas que solo servirán para verificar si no se me han olvidado las tablas de multiplicar, mejor dígame de dónde salió es fórmula" (responder algo así requiere de entendimiento y no de memoria). Y a propósito, ¿cuántos alumnos de las escuelas de Preparatoria (bachillerato) saben de dónde salieron las fórmulas para obtener el área de un cono y el volumen de un cono cuando se conocen el radio de la base del cono y la altura del cono?

Las matemáticas, como dije, son una cuestión de ENTENDIMIENTO más que de memorización. El que quiera hacer una carrera en las Matemáticas ha equivocado rotundamente su vocación si se le ha acostumbrado a depender de la memoria. Para los operaciones aritmeticas ya no se requiere de lápiz y papel, basta con una calculadora de bolsillo de las que apenas hace un siglo atrás en los años cincuenta y sesenta no existían. Y para muchas fórmulas que se obligaba a los alumnos a aprenderlas de memoria abundan los libros que se pueden consultar, además de la ayuda que nos puede brindar Internet.

Yo mismo reprobé la materia de Matemáticas en primero de secundaria con el Profesor Cesáreo Santos de León, y la tuve que aprobar en examen extraordinario porque al igual que muchos incurrí en el error fatal (imbuído por maestros anteriores que posiblemente no sabían casi nada de la materia que tenían a su cargo) de tener que depender mucho más de la memoria que del simple entendimiento.

Hay un enlace de un artículo en Internet publicado por la BBC de Londres cuyo título es "Soy doctora en matemáticas y no sé dividir con tres cifras ni sé calcular a mano una raíz cuadrada", que trata sobre la experiencia personal de Clara Grima, investigadora y divulgadora científica española. Tal vez aquellos quienes tienen dificultades o problemas con las matemáticas le quieran echar un vistazo a lo que ella nos tiene que platicar. Se trata de sabiduría que costó mucho trabajo y mucho tiempo acumular, y que desafortunadamente muchos mentores desconocen.

Para quienes prosigan con estudios universitarios en los que no se recurre tanto a las Matemáticas (la carrera de Licenciado en Derecho es una de ellas, y me consta que muchos de quienes escogen tal carrera lo hacen para no tener ya nada que ver con las Matemáticas que se les enseñó en Secundaria) el verdadero mensaje es éste: un efecto de las Matemáticas es entusiasmar al individuo para que aprenda a PENSAR POR CUENTA PROPIA, para que desarrolle su propio método para pensar lógicamente. Y en rigor de verdad, entender las Matemáticas es lo mejor que pueda haber para que alguien aprenda a poner en funcionamiento su capacidad de poder pensar lógicamente, aprendiendo a rechazar cosas que se le quieran dar como verdades irrefutables cuando no lo son.

La labor del buen maestro de Matemáticas no es hacer que sus alumnos se aprendan fórmulas de memoria, sino enseñarlos a PENSAR, y si no ha logrado esto entonces ha fracasado en su misión al igual que los planes de estudio que contribuyeron a tal fracaso. Cierto que en las ciencias existen muchas fórmulas, pero un investigador profesional debe tener acceso a libros y manuales en donde estén recopiladas sin errores las fórmulas y procedimientos más afines a su rama de saber.

El aprendizaje de las Matemáticas puede ser divertido, y debe serlo. Aunque ello requiere no de chambistas oportunistas que compraron sus plazas como ocurrió en los sindicatos de la Secretaría de Educación Pública que solían ofertarlas al mejor postor, sino de maestros que realmente conozcan de la materia y que no tengan que estar consultando frecuentemente libros que les sirven de muleta para impedir que caigan bajo el peso de cosas que ni siquiera ellos mismos comprenden y cuya ignorancia puede producir en los alumnos una desconfianza que deriva de la siguiente pregunta: "Esta materia ciertamente debe de ser una cosa sumamente difícil, porque si él (ella), mi Maestro(a), tiene muchas dudas, hay problemas y ejercicios en el libro de texto que no puede resolver, y no parece que comprenda bien acerca de los temas que nos debe de enseñar y que ya debería de dominar no solo por los años que ha estado practicando frente al pizarrón sino por lo que debería haber asimilado bien después de tanto tiempo en esto, ¿cómo demonios espera que yo me aprenda en tan solo cinco o diez meses algo que él (ella) mismo(a) no ha podido aprender y dominar en años?". La práctica es importante, al igual que las tareas, pero ello presupone que se ha estimulado al estudiante a no ver las Matemáticas como un campo árido incapaz de despertar el interés o la atención excepto en aquellos que no tienen nada útil que hacer.

Otro ejemplo (se aclara, de antemano, completamente hipotético) sería que, partiendo de un cierto conjunto de "verdades matemáticas" se llegara a la siguiente afirmación:

ENUNCIADO 1: Existen dos números primos, p y q, tales que su cociente elevado al cuadrado, producirá después de el primer millón de cifras significativas, todas las cifras de la raíz cuadrada de 3 a partir de las primeras once mil quinientas cifras significativas en adelante.

y que, partiendo del mismo conjunto de verdades matemáticas, se obtuviera una conclusión como la siguiente:

ENUNCIADO 2: No existen dos números primos, p y q, tales que su cociente elevado al cuadrado, producirá después de el primer millón de cifras significativas, todas las cifras de la raíz cuadrada de 3 a partir de las primeras once mil quinientas cifras en adelante.

Ambas conclusiones son, obviamente, contradictorias. No pueden ser ambas ciertas. Imposible. Una de las dos es necesariamente falsa, y la otra debe ser necesariamente verdadera. ¿Pero cuál es la verdadera, y cuál es la falsa? El intríngulis radica en que se supone que se partió del mismo conjunto de "verdades matemáticas" para obtener, presuntamente sin haber cometido errores ni equivocaciones intermedias, conclusiones diferentes y hasta contradictorias. A esto es a lo que nos referimos al hablar de la consistencia de las matemáticas, que partiendo de lo mismo no surja tarde o temprano la manzana de la discordia que nos mande abajo toda la pirámide, al hecho de que la prueba suprema de la consistencia es que sea imposible obtener dos resultados diferentes y hasta contradictorios partiendo en ambos casos del mismo conjunto de axiomas. No se nos dice cuáles son esos números p y q, y si se nos dijera cuáles son dichos números p y q entonces se podría comprobar (se repite que una mera comprobación no es una demostración, ni siquiera numérica) con la ayuda de una supercomputadora si es realmente cierto que al menos "a partir de las primeras once mil quinientas cifras en adelante" se producirán cifras numéricas significativas que correspondan a la raíz cuadrada de 3. Pero aún si se nos proporcionaran dichos números, el hecho de que tan solo escribir la raíz cuadrada de 3 requiere un número infinito de cifras significativas (es lo que se llama un número irracional, ya que no se puede representar como el cociente o la razón de dos números enteros), la mera comprobación aritmética se vuelve imposible, y podríamos sospechar que tales números p y q no existan. Sin embargo, no podemos probar la NO-EXISTENCIA de los mismos, porque tal cosa es lógicamente imposible.

Han dicho varios matemáticos distinguidos: "Dios existe porque las matemáticas son consistentes. El Diablo existe porque no podemos demostrar que son consistentes".

Pero si no podemos estar completamente seguros al cien por ciento de que las matemáticas son consistentes, porque no es posible probar tal cosa, ¿entonces cuál es el propósito de gastar arduamente tantas energías nuestras en algo en lo que tal vez algún día aparezca una inconsistencia interna que derrumbe la pirámide tan laboriosamente construída? Por esto mismo, es mejor gozar en vez de sufrir, haciendo ameno el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas que, pese a todo, sigue siendo el pilar sobre el cual descansa la ciencia moderna.

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