Dos números desiguales... ¿son iguales?

Muchas veces cuando llevamos a cabo cualquier tipo de razonamiento, al llevar a cabo dicho razonamiento apegándonos a lo que parecen ser principios verdaderos e indiscutibles, y al aplicar una lógica rigurosa sobre dichos principios, creemos que las conclusiones que obtenemos a partir de dicho razonamiento deben ser siempre ciertas, incuestionables, fuera de toda duda. Esto lo hacemos cotidianamente en muchas situaciones, así sea de manera subconsciente. Pero nuestra confianza en muchas conclusiones que obtenemos suele ser socavada al diferir lo que obtenemos en la práctica con los resultados que teóricamente esperábamos obtener. Estas desilusiones son frecuentes en cualquier ámbito del saber humano. El "padre" del comunismo, Karl Marx, creía haber encontrado un sistema económico casi ideal, y sin embargo al poco tiempo de instalarse los bolcheviques en el poder en Rusia varios de los principios de su doctrina tuvieron que ser modificados porque la realidad de los hechos no concordaba con lo que había predicho Marx, empezando por el hecho de que Marx creía que los países capitalistas por excelencia como Estados Unidos y Gran Bretaña serían los primeros en "evolucionar" hacia el comunismo antes que los demás países, lo cual no ocurrió. Fue así como el marxismo se convirtió en marxismo-leninismo al ser actualizados varios de los postulados del comunismo por el líder revolucionario Lenin. Sin embargo, el paso de los años no produjo el "paraíso de los trabajadores" que había anticipado Marx, sólo logró producir un estado controlado por una burocracia gigantesca en el que no era posible planificar una economía controlada de modo que pudiese superar los niveles de vida obtenidos en países no-comunistas como Canadá, Nueva Zelandia, Gran Bretaña y el mismo Estados Unidos. Por siete décadas varios dogmas básicos del comunismo fueron modificados una y otra vez hasta que llegó el momento en que el experimento no podía ser sostenido por más tiempo sin enviar a la bancarrota a todos los países pertenecientes al bloque soviético, teniéndose que abandonar dicho modelo para adoptar una economía de libre mercado.

No sólo en las ciencias sociales se cometen yerros de juicio en la aplicación de razonamientos que parecen carecer de todo defecto. En muchas otras áreas ocurre lo mismo, áreas tales como la biología en la cual por mucho tiempo se creyó sinceramente en la validez del principio de la "generación espontánea" que fue derruído por el eminente científico francés Luis Pasteur, o la ciencia de la termodinámica en la cual por buen tiempo se creyó en la validez de esa extraña substancia conocida como el "calórico" usada para explicar los fenómenos propios de la termodinámica. Los pasos falsos en la obtención de conclusiones y creencias falsas llegan a tal grado que inclusive en las matemáticas, la reina de las ciencias, se pueden cometer involuntariamente yerros fatales al partir de prédicas verdaderas al aplicar una serie de pasos en alguno de los cuales casi sin darnos cuenta erramos fatalmente obteniendo puros absurdos en todos los pasos posteriores. Esta es la razón por la cual en toda demostración matemática se suele aplicar un rigorismo que para muchos principiantes puede parecer injustificado. El rigor utilizado en prácticamente cualquier demostración matemática que se lleve a cabo tiene un por qué, tiene una razón importante para ello, y es precisamente el evitar obtener conclusiones falsas a partir de razonamientos verdaderos.

A continuación veremos una demostración matemática en la cual partiremos de una premisa verdadera, e iremos aplicando pasos lógicos que, pese al cuidado puesto en nuestros razonamientos, nos llevará a un resultado fatalmente erróneo. Es la demostración de que...

Teorema: Dos números desiguales son iguales.

Empezaremos con una igualdad matemática con la cual afirmamos que, dado un número entero a mayor que la unidad:

a = b + c

Este número a podría ser un número como 7, el número b podría ser un número como 3 y el número c podría ser un número como 4.

Lo que hemos afirmado aquí es que todo número entero a mayor que la unidad puede ser descompuesto en la suma de dos números enteros b y c. Esto es tan claro y tan obvio a la razón, que ciertamente nadie podría ponerlo en tela de duda.

Ahora multiplicaremos ambos miembros de la anterior igualdad por la cantidad a-b. Esto es un paso algebraicamente válido, se trata de un paso que siempre podemos llevar a cabo. Si no pudieramos hacer algo tan elemental como esto, el álgebra en su totalidad no nos serviría de nada. No podemos negar la validez de este paso sin negar la validez y la utilidad de la misma álgebra:

a • (a - b) = (b + c) • (a - b)

Llevando a cabo la multiplicación en cada lado de la igualdad, lo que llamamos el "remover los paréntesis", obtenemos lo siguiente de acuerdo con las reglas universales básicas del álgebra:

a • a - a • b = b • a - b • b + c • a - c • b

a² - a • b = a • b - b² + a • c - b • c

En este último paso, hemos aplicado el principio más básico de la multiplicación que nos dice que en toda multiplicación el orden de los factores no altera el producto, principio que se enseña en todas las escuelas desde los grados más elementales, con lo cual b•a=a•b y c•b=b•c. Ciertamente, no habrá nadie que nos podrá objetar esto.

A continuación, reacomodamos el término a•c en el lado derecho de la igualdad, lo cual también siempre podemos hacer ya que en toda suma la representación de la suma de los números m y n ya sea como m+n o como n+m denota exactamente lo mismo. Aquí tampoco nadie podrá objetar la validez de este paso:

a² - a • b = a • b + a • c - b² - b • c

Hasta aquí hemos aplicado una lógica impecable, inobjetable. Creemos estar absolutamente seguros de no haber incurrido en ningún error.

En el siguiente paso, restaremos de ambos miembros de la igualdad la cantidad a•c. Este paso también es perfectamente válido, ya que los mismos axiomas de la lógica de la aritmética nos dicen que si a iguales les restamos iguales la igualdad no se altera. En el lado derecho de la anterior igualdad, esto equivale a cancelar el término a•c, lo cual equivale a pasarlo hacia el lado izquierdo de la igualdad con el signo contrario:

a² - a • b - a•c = a • b - b² - b • c

Ahora llevaremos a cabo una factorización, sacaremos un factor común de ambos miembros de la igualdad, el factor a-b-c. Este paso es también perfectamente válido y reversible, ya que para obtener el paso previo sólo tenemos que volver a multiplicarlo por los términos de los cuales fue factorizado:

a • (a - b - c) = b • (a - b - c)

Tenemos aquí tanto del lado izquierdo de la igualdad como del lado derecho de la igualdad el mismo factor común, a-b-c. Podemos cancelar dicho factor común de ambos lados de la igualdad, lo cual equivale a dividir ambos lados de la igualdad entre a-b-c. Al hacer esto, estamos diciendo que si ambos miembros de una igualdad matemática son divididos entre la misma cantidad, la igualdad no se altera. Ciertamente, es difícil argumentar algo en contra de esto:

a = b

Pero al llegar a esta conclusión, nos damos cuenta de que algo anda mal, muy mal. Este resultado nos dice que el número a es igual al número b. Pero habíamos partido del supuesto de que los números a y b eran desiguales, de que el número a era igual a un número b sumado a un número c.

Si hemos de darle credibilidad a lo que acabamos de obtener, dos números desiguales son iguales.

Esto podría ser más que suficiente para destruír nuestra confianza en las matemáticas, la reina de las ciencias. Si repasamos todos los pasos, uno por uno, no parece haber error alguno en nuestros razonamientos. Todos los pasos que hemos llevado a cabo son los mismos pasos que podría llevar a cabo cualquier estudiante al resolver su tarea escolar. Pero si no podemos confiar en las mismas matemáticas, entonces ¿en qué podemos confiar?

Esto nos demuestra que aunque nuestra lógica parezca impecable, aunque nuestros razonamientos parezcan indiscutibles, las conclusiones a las que llegamos pueden ser fatalmente erróneas. Pero lo malo no es tanto que nuestras conclusiones puedan ser fatalmente erróneas. Lo malo es que nos sigamos aferrando tercamente a tales conclusiones erróneas a pesar de que dichas conclusiones choquen de manera frontal con todo lo que nuestra intuición nos dice que debe ser lo correcto.

Aquí debemos enfrentar otro problema. Nuestra intuición tampoco es una guía siempre confiable para llevarnos por el camino correcto. Prueba de ello lo es la mecánica relativística de Einstein, varios de cuyos resultados chocan frontalmente con lo que nuestra intuición nos dice que es "correcto". Y sin embargo, experimentalmente, en el laboratorio, lo que resulta ser correcto no es lo que nos sugiere nuestra intuición, sino los resultados predichos por la mecánica relativística Einsteniana. Otro ejemplo lo es la mecánica cuántica, varios de cuyos postulados y procedimientos chocan tan duramente con lo que nos sugiere nuestra intuición que frecuentemente batallamos y tenemos que "reprogramar" nuestra mente para poder asimilar esta nueva forma de pensar. Aquí también, experimentalmente, en el laboratorio, lo que resulta ser correcto no es lo que nos sugiere nuestra intuición, sino los resultados predichos por la mecánica cuántica, la cual ha sido enormemente exitosa en sentar a la física y a la química atómica y subatómica sobre bases firmes. El mismo Niels Bohr, uno de los fundadores de la mecánica cuántica, una vez dijo que la mecánica cuántica es de una naturaleza tal que si no hemos sidos conmocionados al ser introducidos a ella, realmente no la hemos entendido.

Todo lo anterior nos demuestra contundentemente que antes de aceptar a ciegas algo como absolutamente cierto debemos cuestionarlo todo, absolutamente todo, empezando por las mismas bases y principios de aquello a lo que estamos siendo introducidos, porque en cualquier momento, en donde menos lo esperamos, puede introducirse el mal paso que nos puede conducir por el camino equivocado.Podemos inclusive terminar dando nuestras vidas por algo que desde el principio estaba fatalmente errado.

En la demostración de que "dos números desiguales son iguales" hubo, ciertamente, un paso fatal aunque no nos hayamos dado cuenta de ello. Ese paso ocurrió cuando llevamos a cabo la división de ambos miembros de la igualdad por el factor a-b-c. Si repasamos la premisa inicial con la cual iniciamos la demostración:

a = b + c

y restamos de ambos miembros de la igualdad la cantidad b+c, vemos que:

a - b - c = 0

De este modo, al dividir ambos miembros de una de las igualdades intermedias entre la cantidad a-b-c, estamos dividiendo ambos miembros de dicha igualdad entre cero. En pocas palabras, estamos llevando a cabo una división entre cero. La cual dicho sea de paso es uno de los peores enemigos de las matemáticas, un paso aparentemente inocuo pero que invariablemente conduce a resultados y conclusiones fatalmente erradas.

En este caso le he dado a mis lectores la explicación del por qué obtuvimos una conclusión falsa partiendo de una premisa verdadera aplicando una serie de pasos, la mayoría de ellos válidos en toda su extensión. Sin embargo, hay muchas situaciones en la vida real, diferentes para cada persona, en las cuales se puede estar viviendo en el error creyendo que se está haciendo lo correcto, situaciones en las cuales no me es posible indicar individualmente a cada quién el momento en el cual se dió ese paso en falso a partir del cual la vida de muchos posiblemente terminaron siendo controladas por un error de juicio o de criterio o de razonamiento.

La próxima vez en la que alguien quiera tomar una decisión trascendental en su vida, valdría la pena que repasara la demostración matemática que acabamos de ver, poniéndose a meditar y a pensar si no habrá, oculto por allí, algún error del que no se haya dado cuenta de que por sí solo puede ser más que suficiente para destruír la validez de algo por lo que está luchando.