El misterioso número pi

Es posible que al haber estudiado geometría primero en la escuela primaria y después en la escuela secundaria, sin darte mayores explicaciones al respecto tus maestros te hayan dicho: "Mira, el área de un círculo, cuando conocemos el valor de su radio, se obtiene de la fórmula:

A = πr²

y la longitud de la circunferencia que rodea al círculo se obtiene de la fórmula:

C = 2πr

que te tienes que aprender de memoria".

Si esta fue la forma en la cual aprendiste acerca de la existencia del número pi (π), entonces lamento decirte que te enseñaron geometría de la manera equivocada.

El verdadero espíritu de las matemáticas no consiste en estarse aprendiendo al por mayor muchas fórmulas de memoria sin saber de dónde vinieron. En particular, el número π, ¿sábes lo que significa? ¿Sábes de dónde viene? ¿Te lo explicaron? Si lo único que te dijeron es que es una constante numérica igual a 3.1416, entonces lamento decirte que tuviste malos maestros que sólo te tuvieron perdiendo lastimosamente tu tiempo en un mesabanco. Lo mismo puede decirse de las fórmulas. Esas fórmulas no salieron de la nada, como tampoco vino un extraterrestre a darnos esas fórmulas. Si no te dieron alguna explicación sobre el origen de esas fórmulas, entonces lamento decirte que tuviste malos maestros. Las matemáticas no son un asunto que tenga que entrar de memoria a la cabeza, aunque el tener que aprenderse de memoria la tabla de multiplicar y muchas fórmulas geométricas sin saber su origen puede causar esa impresión errónea en el estudiante. Las matemáticas son un asunto que debe entenderse, no memorizarse. Los loros son buenos para memorizar, y eso no los ha sacado de sus jaulas.

Vamos a ver primero de dónde viene el número π.

Primero, vamos a trazar un círculo de diámetro d. Por definición, el diámetro de un círculo es la línea recta de mayor longitud que puede trazarse dentro del círculo, pasando por su centro, y es por lo tanto igual al doble del radio r del círculo, y que la circunferencia C es la línea (curva) que le dá una vuelta completa al círculo (el círculo es el espacio comprendido dentro de la circunferencia). Tenemos de este modo la siguiente figura:

Ahora bien, supongamos que el diámetro d del círculo es de un metro. Supongamos también que somos una pulga que camina recorriendo la circunferencia C hasta llegar al punto de donde empezamos. Sin usar fórmula alguna, nos preguntaremos ¿cuánto fue lo que caminamos hasta llegar al punto de partida? Es aquí cuando se vuelve extremadamente útil usar una cinta métrica flexible, como las cintas que usan los carpinteros, fijando el comienzo de la cinta en el lugar en donde empezamos nuestro recorrido. Al terminar nuestro recorrido, vemos que la cinta mide 3 metros. Pero si nos fijamos mejor, la distancia recorrida es un poco más de 3 metros. Es como 3 metros 14 centímetros. Si la cinta es una cinta muy fina con muchas subdivisiones, nos dará un recorrido de unos 3 metros 14.2 centímetros, o lo que es lo mismo en el sistema métrico decimal, 3.142 metros. Esto nos dice que la longitud de la circunferencia es un poco más de tres veces mayor que el diámetro del círculo. Ahora bien, si hubiéramos usado un círculo mucho menor, de un centímetro de diámetro en lugar de un metro de diámetro, ese factor se mantendría igual, porque la longitud de la circunferencia sigue siendo un poco más de tres veces la longitud del diámetro sin importar el tamaño del círculo, ya que todos los círculos son figuras semejantes. Esto nos dice que ese factor de 3.142 es una constante universal, igual para todos los círculos, la cual no cambia de un círculo a otro.

Si midiéramos con una cinta métrica mucho más fina, encontraríamos que esa constante, en vez de ser 3.412, es de 3.1416. Pero una cinta métrica más fina aún nos daría una precisión mayor de 3.14159. Curiosamente, entre más y más subdivisiones utilicemos, más y más dígitos siguen apareciendo como parte del número π. Este proceso de ir agregando mayor precisión al número π nunca acabará, porque el número π es infinitamente largo. ¿Y cómo se supo que el número π es infinitamente largo? Es obvio que ello no se supo con una cinta de medir, porque por fina que sea, después de la tercera cifra se vuelve muy difícil seguir obteniendo los siguientes dígitos del número π. Después veremos cómo se sabe que el número π es infinitamente largo. Por lo pronto, a continuación tenemos un poster que nos va dando las cifras de las que consta la constante universal π:

Así pues, el número π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro:

Y como vimos, se puede calcular una aproximación del mismo en forma experimental, la cual por ser experimental siempre tendrá un porcentaje de error.

Ahora bien, si la longitud de la circunferencia es un poco más de tres veces mayor que el diámetro del círculo por ese factor de π, entonces basta con multiplicar el diámetro d por dicho factor para obtener la longitud de la circunferencia:

C = π•d

Pero el diámetro d de un círculo es igual al doble de su radio r. Sustituyendo esto en la relación anterior, obtenemos la "fórmula":

C = 2πr

Ahora trataremos de obtener la "fórmula" del área del círculo cuando conocemos el radio del mismo. El primer paso consiste en inscribir dentro de un círculo el polígono con la menor cantidad posible de lados: un triángulo equilátero:

La primera observación es que el área de este triángulo ocupa una parte del área del círculo, por lo que calculando el área del triángulo con la fórmula usual (base por la altura entre 2) tendríamos una aproximación incial -tosca- al área del círculo. Podemos mejorar nuestra aproximación si en lugar de un triángulo equilatero usamos un polígono regular con una mayor cantidad de lados, por ejemplo, un octágono:

Resulta obvio que con un octágono podemos cubrir un área mayor del interior del círculo que con un triángulo equilátero. Para calcular el área de este octágono, basta con subdividir el octágono en ocho triángulos isósceles iguales, uno de los cuales se muestra en el dibujo de arriba, y una vez calculada el área de un triángulo sumamos las áreas de los ocho triángulos multiplicando el área de un triángulo por ocho, puesto que tenemos ocho triángulos en el interior del círculo. Y si en lugar de un octágono usamos un polígono regular con una mayor cantidad de lados, digamos 100 lados, dicho polígono nos dará una aproximación muy buena del área del círculo. Un polígono regular con una cantidad todavía mayor de lados, por ejemplo un millón de lados, cubrirá el área interior del círculo de modo tal que prácticamente será indistinguible de un círculo verdadero, necesitaríamos un microscopio ultra-fino para poder darnos cuenta de que se trata de un polígono regular con muchos lados y no un círculo "verdadero". Y esta es la clave para obtener la "fórmula" del área del círculo. Hacemos tender este proceso hacia el infinito.

El área de un pentágono inscrito dentro de un círculo se obtiene subdividiendo primero al pentágono en cinco triángulos iguales de la manera como lo indiqué en la figura de arriba, y el área total del pentágono se obtendrá sumando las cinco áreas de esos triángulos, obtenida cada una de ellas por la fórmula usual del área de un triángulo (base por altura sobre dos). Si denotamos la base de cada triángulo como L y la altura de cada triángulo como h, entonces el área del pentágono será igual a la suma de las áreas de los cinco triángulos inscritos:

(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)

Para un polígono regular de seis lados, o sea un hexágono, el área del hexágono será:

(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)

En general, para un polígono regular de varios lados, la relación general será:

(Lh/2)+(Lh/2)+(Lh/2)+...

en donde queda claro que para un polígono regular de n lados tenemos que sumar una cantidad n de términos.

Puesto que los triángulos interiores al polígono son iguales, teniendo la misma base y la misma altura, podemos llevar a cabo la siguiente factorización:

(L+L+L+L+L+...)(h/2)

Ahora vamos a llevar esto hasta al extremo. Imaginemos que tenemos inscrito dentro del triángulo un polígono regular con una cantidad tan grande de lados, que la suma de cada una de las minúsculas "cuñas" en que se van convirtiendo las bases de cada triángulo, al ser sumadas, nos dan una buena aproximación de la longitud de la circunferencia que rodea al círculo. Siendo así, podemos reemplazar con muy poco margen de error la suma de las bases por la longitud de la circunferencia:

(2πr)(h/2)

Pero si observamos bien, al tener nuestro polígono regular una cantidad enorme de lados, la altura de cada uno de sus triángulos se va aproximando con una precisión cada vez mayor a la longitud del radio del círculo, hasta el punto de volverse prácticamente inconfundibles ambas longitudes. Siendo así, podemos reemplazar el valor de h por el valor de r, y nuestra expresión anterior se reduce a lo siguiente tras llevar a cabo nuestro procedimiento hasta el infinito:

(2πr)(r/2)

Llevando a cabo ahora sí una simplificación algebraica quitando los paréntesis, tenemos entonces que, por el proceso límite que hemos empleado, el área del círculo está dada por:

πr²

que es la "fórmula" que nos enseñan desde las escuelas primarias. Este método para encontrar que el área de un círculo se obtiene con la relación A = πr² generalmente se le atribuye al famoso astrónomo Johannes Kepler, quien ganó renombre dejando las tres leyes que llevan su nombre, las leyes de Kepler (las cuales fueron obtenidas experimentalmente por él mediante un análisis cuidadoso llevado a cabo sobre los períodos de los movimientos de los astros, leyes que serían obtenidas posteriormente por Isaac Newton de su ley de la gravitación universal). Sin embargo, 250 años antes de Cristo ya se le había ocurrido esta manera de obtener el valor de π a uno de los más famosos matemáticos griegos de la antigüedad, Arquímedes. Lo que hizo él fue inscribir un círculo dentro de un polígono regular al cual se le podía aumentar el número de lados, y dentro del círculo inscribión un polígono como se ha hecho arriba. Al aumentar el número de lados tanto del polígono dentro del cual está inscrito el círculo como del polígono que está inscrito dentro del círculo, Arquímedes razonó que el valor de π tenía que estar entre los dos límites, uno de los cuales sería inicialmente mayor que π pero se iría acercando al valor real conforme fuera aumentando el número de lados (con el círculo inscrito dentro del polígono), siendo el otro inicialmente menor que π pero acercándose al valor real al aumentar el número de lados (con el polígono inscrito dentro del círculo). Recomiendo visitar la siguiente dirección para llevar a cabo una interesantísima y divertida demostración interactiva del procedimiento empleado por Arquímedes:

http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/pi.html

Tómese en cuenta que en la antigua Grecia, en los tiempos de Arquímedes, el álgebra aún no se había inventado, eso vendría mucho tiempo después, poco antes de la Edad Media, y no se había inventado aún el cero, mucho menos el sistema métrico decimal. ¡Ni siquiera se había inventado la numeración romana! Aún así, Arquímedes logró obtener un valor muy preciso de π para su tiempo.

Hay otras maneras de obtener la fórmula para calcular el área de un círculo cuando se conoce el radio, pero creo que el razonamiento que acabo de exponer es uno de los más sencillos de digerir.

Ahora veamos la forma en la cual se obtiene el valor del número π de una manera mucho más exacta que el valor que podamos obtener llevando a cabo mediciones con una cinta métrica. En los cursos superiores de matemáticas universitarias, se descubre mediante las herramientas del cálculo infinitesimal que el número pi puede ser calculado mediante una serie aritmética infinita como la serie Gregory-Leibniz:

La fórmula para obtener cada uno de los términos de la serie es la siguiente:

Puesto que la serie aritmética es una serie infinita, dándonos adiciones cada vez más pequeñas de términos al número π que nunca acaban, resulta obvio que el número π constará de un número infinito de cifras; nunca será posible escribirlo en su totalidad. Y como no es posible escribirlo en su totalidad, tampoco puede ser obtenido mediante la simple división de dos números enteros. Al no poder ser obtenido a través de la razón entre dos números enteros, se dice que π es un número irracional. Y de hecho, números como π reciben otro nombre que los distingue como especiales, se les llama trascendentes, porque "trascienden" a los números racionales.

La serie arriba mostrada no es la única que existe para calcular el número π. Existen otras series mucho más eficientes. Sin embargo, todas las series usadas para calcular π son infinitas, como era de esperarse.

Sabiendo ya que la definición original del número π viene de una definición geométrica, ahora presentaré un argumento que no deja de causar interés en quienes lo escuchan por vez primera: el número π geométrico no existe en el universo físico en el que vivimos. Si π es un número basado en mediciones exactas llevadas a cabo con una precisión hasta el infinito sobre un círculo trazado en un plano, la medición será exacta sólo si el "plano" es perfectamente plano, hasta el infinito, sin ninguna curvatura. Pero para que no haya ninguna curvatura, se requiere que el plano en donde es trazado el círculo no esté sujeto a la acción de la gravedad de la Tierra. Esto lo puedes ver mejor si tomas una hoja de papel en tus manos y logras sostenerla con uno solo de tus dedos puesto en el centro de dicha hoja (un poco difícil, pero se puede lograr). Lo que sucederá, irremediablemente, es que las esquinas de la hoja caerán hacia abajo por la acción de la gravedad de la Tierra, quedando por abajo del centro de la hoja. Siempre habrá una curvatura presente aunque subamos al edificio más alto que hay en la Tierra. Y si subimos hasta el espacio exterior, la gravedad de la Tierra, aunque menor, seguirá "pandeando" la hoja de papel.

Ahora bien, de acuerdo con la Teoría General de la Relatividad concebida por Einstein, la acción de la gravedad no consiste en una fuerza casi mágica, invisible, jalando a dos cuerpos que según Isaac Newton se atraen entre sí "en razón directa del producto de sus masas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que los separa". Einstein unificó los conceptos del espacio en tres dimensiones (ancho, largo, profundidad) con la dimensión del tiempo, para crear un solo concepto, el espacio-tiempo (una sola palabra, indivisible), el cual obviamente es de cuatro dimensiones. Einstein nos explica con su teoría de la relatividad que la gravedad se debe a que la presencia de cualquier objeto que siempre tendrá algo de masa, aunque sea un poco, introducirá una curvatura en ese espacio de cuatro dimensiones, y según ello, la única forma posible de que no haya alguna curvatura apreciable, la única forma posible en que ese espacio de cuatro dimensiones sea "plano" (lo que en física moderna se llama Lorentziano) es que no haya algún objeto cercano que con su masa introduzca esa curvatura en el espacio de cuatro dimensiones. Esta curvatura va disminuyendo conforme nos vamos alejando del objeto, pero siempre estará presente, aún a grandes distancias. Y aún en el supuesto caso de que nos estemos alejando mucho de la Tierra para reducir la curvatura que introduce la masa de la Tierra en ese espacio cuatri-dimensional, eventualmente estaremos cerca de otro planeta, o inclusive cerca de otra estrella o de otro sistema solar, que empezará a afectar con su masa lo que de otra manera sería un "plano perfecto". La única manera posible en la cual podríamos tener un "plano perfecto" sería si no hubiese nada de masa en ninguna parte del Universo, o sea, si el Universo estuviera completamente vacío. Pero un universo completamente vacío, privado de cualquier cantidad de masa, inclusive de la masa de un solo átomo, se antoja inconcebible. Un universo así ni siquiera podría haber "nacido", de acuerdo con los descubrimientos teóricos de la física. Por otro lado, aún si pudiéramos trasladarnos con una nave interplanetaria, o mejor dicho, intergaláctica, a otra región del Universo en donde estuviéramos lo más alejado posible de la cercanía de cualquier tipo de masa, tendríamos el problema de que, como el número π se va subdividiendo con precisión ilimitada hasta el infinito, no existirá ninguna parte del Universo en donde una medición teórica ideal del π geométrico eventualmente incurrirá en una diferencia con el número π matemáticamente exacto que obtenemos no por mediciones geométricas sino mediante el empleo de series matemáticas como las mostradas arriba, y todo ello por el hecho de que siempre habrá alguna curvatura presente, por pequeña que sea, que destruirá el "plano perfecto". De hecho, la diferencia entre el número π que obtendríamos a través de mediciones geométricas precisas y el número π exacto que nos proporcionan las series matemáticas nos daría una forma de evaluar la curvatura del espacio cuatridimensional en el que estamos ubicados.

Otra forma de ver lo que he expuesto arriba es la siguiente. Imaginemos por un momento que, en vez de ser seres tridimensionales, somos seres bidimensionales, limitados a vivir en un espacio de dos dimensiones, sin poder salir afuera hacia la "tercera dimensión" que vendría siendo la dimensión de profundidad. Ahora imaginemos que, a manera de las hormigas, nuestro "mundo", nuestro "universo", está empotrado sobre la superficie de una pelota de futbol. Nosotros no podemos darnos cuenta de ello, porque estamos confinados a vivir y a movernos en la superficie de la pelota, no podemos "salir" hacia fuera de la pelota ni podemos movernos dentro de ella, y aquí suponemos que nuestros sentidos físicos, como seres bidimensionales, nos impiden darnos cuenta de que nuestro mundo está de hecho empotrado dentro de otro mundo tridimensional (del mismo modo en que la limitación actual de nuestros sentidos nos impide darnos cuenta de que vivimos en un mundo de cuatro dimensiones, de acuerdo con Einstein). Ahora, como diligentes hormigitas, trazamos en nuestro mundo, de la manera más precisa posible, una circunferencia. Esa circunferencia, de acuerdo con todas nuestras mediciones y cálculos, será una circunferencia matemáticamente exacta. El siguiente paso consiste en trazar un diámetro dentro de nuestra circunferencia, el cual por definición será cualquier cuerda con la mayor longitud posible que podamos trazar dentro del círculo. Pero para un ser superior, capaz de captar que vivimos en un mundo tridimensional, nuestro diámetro no será una línea recta, sino un arco de círculo. En realidad, al tomar una pluma y trazar una línea recta sobre la superficie de una pelota de futbol, estamos trazando una cuerda sobre la superficie esférica de la pelota de futbol. Esto quiere decir que, como seres bidimensionales, al medir el "diámetro" de nuestro círculo, ese "diámetro" de hecho será mayor en longitud que el valor que obtendríamos si nos fuese posible "perforar" la superficie de la pelota de futbol trazando la recta más corta posible que une los extremos de nuestro diámetro, algo que solo le es posible a un ser capaz de vivir en un universo de tres dimensiones, capaz de salir fuera de la pelota o entrar dentro de ella. En lo que a las hormigitas confinadas a vivir en el mundo plano empotrado sobre la superficie de la pelota de futbol respecta, después de llevar a cabo la medición exacta de la longitud del diámetro de la circunferancia que trazaron (que en realidad es no una línea recta sino un arco de círculo), y al dividir la longitud exacta de la circunferencia entre la longitud exacta del diámetro de dicha circunferencia medido por ellos (la definición geométrica de π), se van a llevar la gran sorpresa de su vida al encontrarse con que el valor de π así obtenido, en lugar de ser el valor predicho por las series matemáticas, va a ser un valor menor al que predicen dichas series. Irremediablemente, se van a topar con el hecho de que hay lo que parece ser un "error" ineludible. Así, mientras que el valor matemáticamente exacto de π, hasta doce cifras significativas, es:

π(exacto) = 3.14159265358...

el valor obtenido experimentalmente por las hormigitas podría ser algo como lo siguiente:

π(experimental) = 3.14159265219...

y la diferencia entre el valor matemáticamente exacto y el valor experimental de π será:

π(exacto) - π(experimental) = 3.14159265358... - 3.14159265219...

π(exacto) - π(experimental) = 0.00000000139

Es importante darse cuenta de que esta diferencia no se debe a un error en los instrumentos de medición empleados por las hormigitas, los cuales supondremos increíblemente precisos. El "error" se debe al hecho de que el universo "plano" en el que viven las hormigitas está empotrado dentro de un universo de tres dimensiones en el cual hay una curvatura. Y de hecho, calculando el valor de π mediante series matemáticas exactas y comparándolo con el valor obtenido experimentalmente, la diferencia resultante no sólo haría a nuestras hormigitas descubrir que el espacio que creían plano de hecho es un espacio curvo, sino inclusive la magnitud de dicha diferencia les daría el valor exacto de la curvatura del espacio en el que viven. Es así como descubrirían y confirmarían, más allá de la limitada utilidad de sus sentidos físicos, que no viven en un universo "plano" sino que viven en un universo que de hecho está curvo. La diferencia entre el valor matemáticamente exacto de π y el valor obtenido experimentalmente se hará menor en tanto sea menor la curvatura del espacio, lo cual se puede lograr para las hormigitas suponiendo una pelota de futbol más y más grande, inclusive del tamaño del planeta Tierra. Pero siempre habrá un margen de "error", habido el hecho de que el número π está formado por una cantidad infinitamente grande de dígitos, y por pequeña que sea la "curvatura" del espacio bidimensional en el que viven las hormiguitas, la extensión infinita de π eventualmente alcanzará el punto en el que un valor experimental de π diferirá del valor teóricamente exacto. Ahora bien, nosotros no somos seres bidimensionales, no estamos limitados a vivir en un universo de dos dimensiones. Tenemos sentidos físicos que nos permiten captar que vivimos en un mundo tridimensional. Pero nuestros sentidos físicos no nos permiten captar que, de hecho, vivimos en un espacio de cuatro dimensiones, como lo predice la Teoría General de la Relatividad de Einstein. Y por lo tanto, estamos tan impedidos como las hormigitas de captar cualquier curvatura de ese espacio de cuatro dimensiones cuyos efectos, de cualquier manera, tal vez se pueden descubrir a la manera de las hormiguitas con mediciones experimentales, a menos de que la diferencia entre el valor experimental (geométrico) de π y el valor matemáticamente exacto de π sea tan pequeña que su determinación siempre estará fuera del alcance de cualquier instrumento que pueda ser concebido por nosotros o por las hormiguitas.

En base a lo que se ha explicado, la definición del número π usando el concepto geométrico de obtenerlo midiendo no es una definición teóricamente exacta, ya que en principio dará valores diferentes de acuerdo con la región del Universo en donde llevemos a cabo las mediciones geométricas. Y esto no tiene nada que ver con la precisión de los aparatos que utilicemos para llevar a cabo las mediciones. Es una falla intrínseca, inevitable, producto de la realidad de que vivimos en un universo físico y no en un universo matemático "ideal". Siendo así, la definición exacta de π, puramente matemática, se tiene que dar no en base a su origen geométrico con el que empezamos esta exposición, sino en base a cualquiera de las series matemáticas infinitas que se usan para calcularlo usando números en vez de usar cintas de medir. El problema ahora es que, ¿habrá alguien en las escuelas de enseñanza media que pueda entender esto, cuando las series matemáticas infinitas es un tema que por lo general sólo se discute hasta llegar a la universidad, y ello sólo en cursos de matemáticas impartidos en las carreras científicas y técnicas?

Inmigración a la inversa

En otra entrada previa publicada aquí mismo en mi bitácora diaria el 14 de marzo próximo pasado bajo el titulo "El ocaso de una potencia", describí las varias razones por las cuales el otrora poderoso imperio norteamericano ha iniciado un lento pero continuo declive perdiendo la omnipotencia absoluta con la cual dominaba o pretendía dominar económicamente al resto del planeta. Refrendando lo publicado en aquél artículo, está sucediendo algo completamente inusitado de lo cual dieron noticia los servicios informativos de la cadena CBS este 9 de abril próximo pasado. El fenómeno podría llamarse "inmigración a la inversa", a falta de un mejor término. La historia tal y como fue dada por los servicios informativos de la cadena CBS es esta:

El estado mexicano de Guanajuato tiene tierra fértil y un clima templado. Por años, sin embargo, la pobreza allí ha llevado a muchos a dirigirse hacia el Norte para buscar trabajo en los campos agrícolas en los Estados Unidos. Pero hoy hay un movimiento a lo largo de la frontera hacia el otro lado, según lo reporta el corresponsal de los noticieros CBS John Blackstone. Steve Scaroni es un agricultor norteamericano que se ha trasladado a México.

"Es una situación muy triste que, sabe usted, a los cincuenta años de edad, yo me haya tenido que trasladar aquí en cierto sentido, comenzar de nuevo, para poder competir por mi sueño americano", dijo Scaroni. Scaroni divide hoy su tiempo entre México y las grandes granjas que aún posee en los Estados Unidos. Dijo que fue obligado a comenzar a moverse a México porque las cacerías de indocumentados hicieron cada vez más difícil el poder conseguir trabajadores agrícolas en Arizona y California.

"No podemos obtener suficiente mano de obra (en los Estados Unidos), cada día, sobre una base segura y consistente, para hacer frente a nuestras demandas de producción", dijo Scaroni. La Western Growers Association dijo que los granjeros en Arizona y California muy seguido necesitan hasta 30 por ciento más trabajadores que los que pueden contratar. Así que dos años atrás, Scaroni empezó a mover su granjas hacia donde están los trabajadores. Él ya cuenta con 2,000 acres en México y 500 trabajadores. Inclusive maneja ya su propia planta de empacamiento manejando más de dos millones de lechugas al día para su envío a los grandes procesadores y distribuidores de alimentos en los Estados Unidos. La lechuga procesada y empacada el día de hoy estará a través de la frontera norteamericana para el día de mañana. Con los alimentos cruzando la frontera, los trabajadores ya no se ven en la necesidad de cruzar ilegalmente hacia los Estados Unidos en calidad de indocumentados, al serles proporcionados los mismos empleos en México por las mismas compañías para las cuales trabajaban antes en los Estados Unidos.

Scaroni recibió una gran bienvenida de parte del Secretario de Agricultura para el estado, quien dijo que el proporcionar oportunidades aquí mismo en México significa que gente ya no tendrá que morir intentando cruzar la frontera. La reforma migratoria que hubiera hecho más fácil el ingreso de trabajadores agrícolas temporales de México a los Estados Unidos fracasó el año pasado. Uno de sus patrocinadores, la Senadora Dianne Feinstein, Demócrata por el estado de California, dijo que la escasez de trabajadores agrícolas está amenazando a la agricultura norteamericana. Feinstein dijo: "Los granjeros pronto decidirán que preferirán hacerlo en México". Al día de hoy, granjeros norteamericanos han movido ya 46 mil acres de producción hacia México. Mientras que esto es aún algo pequeño en comparación con los 27 millones de acres cultivados tan sólo en el Estado de California, los granjeros que se están trasladando hacia México creen que son la punta de lanza del futuro de la agricultura. Scaroni dijo que a menos de que la ley haga pronto mucho más fácil el procurar trabajadores agrícolas mexicanos, su tierra de oportunidades ya no es Estados Unidos, es México.

La posibilidad de que las leyes sean cambiadas pronto en los Estados Unidos para facilitar el ingreso de trabajadores agrícolas temporales de México son hoy prácticamente nulas. El fracaso de la reforma migratoria impulsada por el Presidente George Bush significa que no habrá acuerdo migratorio en el Congreso norteamericano este año, ni habrá un acuerdo migratorio el año entrante, ni el que sigue. Las estimaciones más optimistas entre los círculos políticos norteamericanos dan por hecho que no será sino hasta dentro de tres o cuatro años cuando el tema de la reforma migratoria sea tomado nuevamente en serio por el Congreso. Mientras tanto, muchas cosechas agrícolas se están pudriendo y se seguirán pudriendo en los campos norteamericanos por falta de mano de obra para levantarlas, el problema que tienen los agricultores norteamericanos es un problema no para ser resuelto por su gobierno dentro de tres o cuatro años (tal vez) sino para hoy mismo. La urgencia de ellos es hoy, no el día de mañana o de pasado mañana. Pero por otro lado, el Departamento del Trabajo (US Department of Labor) mantiene la burocrática mentalidad de que mientras el índice de desempleo en los Estados Unidos no sea cero, mientras no haya un solo norteamericano desempleado, no se debe permitir el paso a ningún extranjero cuyo trabajo pueda ser realizado por ese norteamericano desempleado. El problema es que jamás en la historia de la humanidad desde que se inventaron las estadísticas ha habido país alguno sobre la faz de la Tierra en el cual el índice de desempleo sea cero. Si esto es lo que está esperando el US Department of Labor para ponerse del lado de los agricultores norteamericanos, lo más seguro es que la industria de la agricultura norteamericana va a terminar tronando. A esto es a lo que puede llevar a un país una actitud burocrática más propia de un minusválido que padece de síndrome de Down en grado extremo que de un gobierno serio y responsable que trate de ver por sus propios intereses y los intereses de su vecino o sus vecinos inmediatos.

La Western Growers Association que habla por los miles y miles de empresarios productores agrícolas en los Estados Unidos cuyas cosechas se están pudriendo en los campos por falta de trabajadores agrícolas mexicanos, señala en la siguiente página:

http://www.wga.com/Default.aspx?tabid=226

su creciente pesimismo de que se logre un acuerdo migratorio en el Congreso norteamericano para permitir la entrada de trabajadores temporales de México, y añade: "Ha sido bien documentado que nuestra economía sufrirá enormemente si cerramos las fronteras sin hacer concesiones para llenar las vacantes que atraen a todos estos inmigrantes al estilo de vida norteamericano. Los ciudadanos norteamericanos no están preparados para estos trabajos ni están dispuestos a aceptarlos. Debemos convencer ahora a nuestros gobernantes electos de atender este problema. Pueden estar seguros (los agricultores) de que no quitaremos el dedo del renglón de este asunto (la Western Growers Association). Sabemos que el futuro de la agricultura de California y de Arizona dependen de ello". Pese a estas graves advertencias sobre las consecuencias cataclísmicas que pueden caer sobre la economía norteamericana si se cierran totalmente las fronteras al ingreso de trabajadores agrícolas temporales de México, el Congreso norteamericano continúa actuando como un sordo incapaz de escuchar los gritos de auxilio que vienen de su propia gente. Simple y sencillamente, la mayoría de los Congresistas norteamericanos (la mayoría requerida ya no para lograr una reforma migratoria para legalizar a los indocumentados que viven en los Estados Unidos sino simplemente para aprobar un paquete urgente autorizando la contratación masiva de trabajadores agrícolas mexicanos) no quieren escuchar, porque parece que ellos tienen otras cosas más importantes qué atender. Con tal actitud, llena de soberbia y de pedantería, ellos mismos están empujando a sus propios agricultores a que emigren. Y como no van a emigrar a Canadá, país que tiene sus propias necesidades de la mano de obra mexicana para el campo y el cual por cierto ha tenido la decencia de estar firmando acuerdos migratorios con México para el suministro de trabajadores mexicanos temporales para Canadá, no les queda de otra más que voltear sus ojos hacia México, porque más allá de México solo cuentan con Guatemala que está demasiado lejos de la frontera norteamericana.

Independientemente del fantasma de un éxodo masivo hacia México de acaudalados agricultores que están ya hartos de que su propio gobierno les niegue el acceso a la mano de obra mexicana que necesitan para la producción y el levantamiento de sus cosechas, en el estado de Arizona en donde el poderoso Congresista Republicano Russell Pearce introdujo la iniciativa para quitarles a los empleadores en Arizona su licencia para poder operar en dicho estado en caso de que se les encuentre trabajadores indocumentados trabajando para ellos está ocurriendo otro fenómeno: el éxodo forzado de miles y miles de indocumentados hacia otros estados de la Unión Americana no sólo le está privando ya a Arizona de una fuerza de trabajo irreemplazable, sino que también la base económica que representaban dichos trabajadores se está yendo con ellos a otros estados; hasta ahora Russell Pearce y los colegas suyos que lo apoyaron en esta aventura anti-inmigrante están descubriendo que esos odiadísimos mexicanos indocumentados estaban contribuyendo con una base considerable de impuestos a las arcas del estado de Arizona, y como consumidores de muchos productos también representaban un sector importante de la economía del estado que ahora está desapareciendo con ellos, como lo evidencian las tiendas que están empezando a cerrar sus puertas al desaparecer esta clientela que representaba una fuente importante de movimiento de capital en Arizona. Los xenófobos de Arizona están comenzando a descubrir que la presencia de esta fuerza de trabajo mexicana en su estado no era tan nociva después de todo como sus Congresistas les habían hecho creer, una lección que les está resultando ya bastante costosa. Empeorando las cosas, en lo que podríamos llamar una "fuga de capitales" disfrazada muchos empresarios de otros estados e inclusive de otros países que planeaban abrir negocios, sucursales y filiales en Arizona están cancelando definitivamente todos sus proyectos de inversión porque no quieren correr el riesgo de que se les prive de su licencia de operar perdiendo con ello sus inversiones en caso de que algunos de los empleados que contraten resulten ser trabajadores indocumentados; nadie quiere arriesgar y perder su capital en un lugar en donde no hay garantías para la inversión, y por sus leyes anti-inmigrantes Arizona ha dejado de serlo. Este hundimiento paulatino de la economía de Arizona viene justo en el momento en el que Estados Unidos como nación está entrando en una recesión económica que se verá agravada en Arizona por causas mucho más políticas que económicas, y cuando el impacto económico le llegue a los bolsillos de los votantes en Arizona posiblemente Russell Pearce tendrá razones para preocuparse cuando se postule para su reelección.

Además del atractivo de encontrar en México la misma mano de obra que cada día se les dificulta más y más encontrar en los Estados Unidos a los agricultores norteamericanos, existe otra razón fundamental de peso que tal vez los ponga a pensar: la escalada inflacionaria que está padeciendo la economía norteamericana agravada por un dólar cada vez más debilitado con dificultades crecientes para poder hacer frente a la competencia internacional. No sólo no pueden encontrar en su propio país los trabajadores agrícolas temporales que necesitan urgentemente, sino que los costos de operación en territorio norteamericano están poniendo a muchos agricultores, grandes y pequeños, al borde de la quiebra, de modo tal que si no quiebran sus empresas por falta de mano de obra para levantar las hortalizas y las legumbres antes de que se pudran en el campo, de cualquier modo quebrarán por los cada vez más altos costos de operación en los Estados Unidos.

Hoy en día, la industria maquiladora es una importante fuente de empleos para muchos mexicanos que de otro modo se estarían muriendo de hambre o tendrían que estar viviendo con sus familias como indocumentados en los Estados Unidos escondiéndose temerosos de las autoridades. Alentar a los grandes agricultores norteamericanos a venir a México para traerse sus capitales y empezar el equivalente de "la maquila de la agricultura" podría ser el inicio de un fenómeno a gran escala de proporciones gigantescas del cual México podría resultar ampliamente beneficiado, un fenómeno cuyas consecuencias sociales podrían ser de proporciones históricas, contribuyendo a emparejar la enorme desigualdad existente entre México y Estados Unidos, un país en el que hay abundancia de capital pero una escasez cada vez más aguda de mano de obra, y el otro en el cual hay abundancia de mano de obra pero no hay suficiente capital para hacer producir al campo. La huída de los grandes agricultores de Estados Unidos hacia el sur de la frontera, hacia México, con el fin de aprovechar no sólo el bajo costo de la mano de obra en México sino la disponibilidad inmediata de esa abundante mano de obra sin tener problemas de ningún tipo con las autoridades migratorias norteamericanas suena demasiado atractivo como para que siga siendo desaprovechado por más tiempo. Hablando en términos de pesos y centavos, que es a fin de cuentas lo que más le importa a cualquier empresario, trátese de un empresario norteamericano, chino o ruso, cualquier agricultor del vecino país que venga a invertir su capital y abrir sus operaciones en México puede aumentar sus ganancias y competir en términos sumamente favorables contra sus propios coterráneos en Estados Unidos, los cuales estarían en franca desventaja ya que los agricultores norteamericanos operando en Estados Unidos no podrían competir en lo que a costo se refiere en contra de los agricultores norteamericanos que decidan trasladarse a México. Esto es precisamente lo que la visionaria Senadora Dianne Feinstein teme que ocurra en su estado de California no a largo ni a mediano plazo sino a la voz de ¡ya!, y si se les revienta este dique les va a ser muy difícil taparlo, porque una vez que a los empresarios les entran ideas en la cabeza y ven oportunidades en donde no las habían visto antes empiezan a suceder muchas cosas que en otros tiempos hubieran sido impensables. Ocurriría exactamente lo mismo que lo que sucedió con las maquiladoras, otrora industrias norteamericanas que al salir para siempre del vecino del Norte para instalarse en México primero y ahora en China terminaron costándole a la economía norteamericana miles de millones de dólares en empleos perdidos.

En lo que a nosotros respecta, ¿qué mexicano no preferiría mil veces ver mejor a sus compatriotas laborando aquí mismo en México, engrandeciendo con su trabajo fecundo a su propio país, en vez de exponerse a morir de hambre y sed en los inhóspitos desiertos de Arizona o cazados como animales por agentes de la Patrulla Fronteriza ávidos de jalar el gatillo de sus pistolas en contra de unos seres humanos cuyo único delito es tratar de procurar una mejor vida para ellos y los suyos? Aquí en México no hay ninguna Border Patrol que los ande cazando y ande llevando a cabo redadas para capturarlos, ficharlos como criminales, y deportarlos aventándolos a México dejándolos "a la buena de Dios". Esto no se trata de un simple asunto que pueda traer grandes beneficios a México; en su nivel más básico se trata de un asunto de la más elemental justicia que le debemos a nuestros propios trabajadores agrícolas a los cuales hemos dejado desprotegidos ya por demasiado tiempo. Si el Congreso norteamericano con adalides como el xenófobo anti-inmigrante Republicano del estado de Colorado Tom Tancredo decide escupirles en la cara construyendo una muralla para impedirles su ingreso, si el Congreso norteamericano no está dispuesto a reconocerles su valiosa labor, y si las agencias del gobierno norteamericano no están dispuestas a crear conciencia en el Congreso de la necesidad que tiene la economía norteamericana de estos seres humanos a los cuales tratan como reses, entonces quienes vivimos en México estamos obligados y comprometidos a hacer todo lo que podamos por ellos para que ya no se vean en la necesidad de salir de su patria a sufrir desventuras en tierra ajena.

Si el Gobernador de Chihuahua José Reyes Baeza se pone listo como lo hizo el Gobernador de Guanajuato quien está "jalando" hacia su estado a pudientes empresarios agrícolas norteamericanos como Steve Scaroni, buscará la manera de coordinarse con el gobierno federal para promover entre los empresarios norteamericanos dedicados a la agricultura la idea de trasladar hacia México sus inversiones, su amplia experiencia y su avanzada tecnología, ofreciéndoles un país en el cual no habrá ninguna autoridad migratoria que los moleste quitándoles a sus trabajadores agrícolas en los tiempos de cosechas cuando más los necesitan. La llegada de esos capitales y de esos empresarios valiosos significaría la creación de numerosos empleos en el campo que podrían hacer que la plataforma agrícola en México pueda despegar por fin a gran escala convirtiéndose en el orgullo y la envidia del resto de los países de Latinoamérica. Sería una unión de intereses mutuamente ventajosa; por un lado los trabajadores mexicanos saldrían ampliamente beneficiados al no tener que trasladarse ya en calidad de indocumentados hacia un país en donde el gobierno no les dá la bienvenida, no les reconoce la importancia de su trabajo, y emprende cacerías y redadas en contra de ellos sin agradecerles la contribución que están haciendo a la economía norteamericana. Y por otro lado los empresarios norteamericanos saldrían también ampliamente beneficiados al poder aumentar sus ganancias y poder trabajar tranquilos sin que las políticas del gobierno federal norteamericano e inclusive las políticas de muchos gobiernos locales en los Estados Unidos (como la implementada en el estado de Arizona a iniciativa de Russell Pearce y sus colegas Republicanos en la cual a los empleadores a quienes se les encuentre trabajadores indocumentados se les quitará el permiso para operar) sean un estorbo para ellos. Y la derrama económica en México constituiría una fuente adicional de ingresos con los cuales se podría ir disminuyendo la enorme dependencia de México en el petróleo como fuente de divisas. Con un poco de esfuerzo y voluntad, todos salimos ganando si nos aprovechamos de esta situación. El gobierno norteamericano ya demostró su propia miopía y su incapacidad para poder ayudar a sus propios empresarios agrícolas. Corresponde ahora a los gobernantes mexicanos en todos sus niveles aprovechar la situación y demostrar que en México, a diferencia de lo que está sucediendo en Estados Unidos, los gobiernos sí están dispuestos a escuchar y a ver por los intereses de su propia gente.

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(Actualización puesta el 31 de mayo de 2008: De acuerdo con los diarios, el jueves 15 de mayo de 2008 el Comité de Erogaciones del Senado aprobó en Washington, con una mayoría bipartidista que lo resguarda del veto presidencial, una ley que brindaría la oportunidad de trabajar legalmente –durante un periodo de cinco años, a razón de cien días por año– a 1.35 millones de jornaleros agrícolas, dentro de un esquema de labores similar al denominado “Programa Bracero”, que llevó mano de obra a los Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial. Se trata de un plan denominado “Decreto de Ayuda de Emergencia para la Agricultura 2008”, AERA, por sus siglas en inglés, que se incluye como enmienda al proyecto de ley suplementaria para los gastos en Irak, y fue propuesto por la senadora demócrata californiana Dianne Feinstein y su colega Larry Craig, republicano de Idaho. Su propósito principal es terminar con la escasez de mano de obra que enfrenta el campo estadounidense ya que, de acuerdo con el sitio web de la senadora Feinstein, decenas de granjas y operaciones agrícolas se estén desmantelando en Estados Unidos para establecerse en México. El decreto no incluye ninguna vía que permita obtener la ciudadanía ni la residencia a los participantes. Sin embargo, otorgaría estatus inmigratorio temporal y limitado a trabajadores agrícolas, a quienes se les exigiría continuar laborando en la agricultura norteamericana durante los próximos cinco años. La iniciativa está diseñada para combatir la falta de trabajadores agrícolas que “ha causado que la fruta se eche a perder en los árboles y que las operaciones agrícolas se trasladen a México”, según apunta Feinstein. “La presente enmienda proporciona mano de obra consistente y estable para una industria que depende en forma casi exclusiva en la mano de obra indocumentada la agricultura. Y proporciona estatus temporal para quienes han trabajado en la agricultura y quienes continúen trabajando en la agricultura por varios años”, dijo ayer la senadora por California durante la reunión del comité.“Esta enmienda también es apoyada por el senador Craig, así como otros miembros de este comité y del Senado”. Para participar en el plan, serán candidatos aquellos trabajadores que se hayan desempeñado en los campos estadounidenses en un término de 150 días u 863 horas o que hayan percibido un ingreso de hasta 7 mil dólares en un periodo de 48 meses. A la propuesta de ley AERA le antecede la AgJOBS o Agricultural Jobs, la cual también planeaba legalizar hasta 1.5 millones de trabajadores agrícolas en un lapso de cinco años, de acuerdo a archivos periodísticos. El informe establece que AgJOBS pretendía otorgar una mano de obra estable al sector agrícola que ha denunciado escasez de trabajadores en ese rubro y pérdidas económicas, de acuerdo a archivos periodísticos. “El proyecto AgJOBS tiene dos partes: la primera crea un programa piloto para identificar a los trabajadores agrícolas indocumentados y legalizar el estatus migratorio de los que hayan trabajado en EU por los pasados dos años o más. La segunda parte crearía un programa H2A, el programa actual, más útil para implementar un programa de trabajadores huéspedes realista y efectivo”, dijo Feinstein en entrevista previa un matutino de Los Angeles. No obstante, el proyecto de ley AgJOBS no obtuvo el pasado 19 de abril los 60 votos necesarios para garantizar su avance en el Senado, pero una sólida mayoría bipartidista de 53 senadores votó a favor de la medida lo cual, según grupos pro inmigrantes y sus auspiciadores, indica que el proyecto tiene probabilidades de ser aprobado en el futuro en la Cámara Alta. La medida se sometió como enmienda al proyecto de gastos de más de 80,000 millones de dólares para Irak, Afganistán y las víctimas del tsunami de diciembre, pero requería 60 votos para avanzar. El voto final fue de 53 a favor sobre 45 en contra. Esta enmienda de ley representa sin duda alguna un duro revés para el entonces soberbio y pedante Congreso norteamericano de 1964 cuando dictaminó en aquél entonces que Estados Unidos no necesitaba ya de ningún trabajador agrícola mexicano por contar con más que suficientes trabajadores norteamericanos capaces y dispuestos a hacer ese tipo de trabajo, dando por terminado unilateralmente el "programa bracero" el 31 de diciembre de 1964. Hoy, con mucha tardanza, se están empezando a dar cuenta de que Estados Unidos debe mucha de su prosperidad al trabajador agrícola mexicano, un cambio de actitud que de cualquier manera llegará demasiado tarde para rescatar las numerosas cosechas que se están pudriendo en estos momentos en los campos agrícolas norteamericanos, y llegará también demasiado tarde para salvar de la bancarrota a muchos granjeros norteamericanos que se fueron a la quiebra por culpa de su propio gobierno elegido por ellos mismos.)

Soluciones, soluciones

En todos los trabajos de índole técnica y científica que he estado publicando en Internet, los problemas y ejercicios de práctica que he estado incluyendo tienen todos ellos una característica: a todos se les dá una solución que puede ser consultada de inmediato por mis lectores. No he puesto un solo problema al que no se le haya dado una solución.

Recuerdo cuando estaba chico estudiando en la escuela primaria el coraje que me daban los famosos "Cuadernos Gader" usados para prácticas de aritmética, los cuales además de imponer un tiempo límite máximo rigurosamente cronometrado en cada uno de los ejercicios, no proporcionaban absolutamente ninguna respuesta a ninguno de los ejercicios. De por sí ya era bastante pesado el tratar de "ganarle al reloj" para que además de esto se tuviera que lidiar con el problema de que no hubiera respuestas a ninguno de los ejercicios. En la prisa por "ganarle al reloj", era muy fácil cometer una equivocación, pero si uno se equivocaba, no había forma alguna de saber que se había incurrido en una equivocación a menos de que el maestro corrigiera todos los cuadernos de todos los alumnos, lo cual jamás ocurría en salones de clase sobrepoblados en los cuales la norma eran grupos de cuarenta o cincuenta alumnos.

Cuando pasé a la escuela secundaria, esto no mejoró significativamente, ya que para los problemas más sofisticados de matemáticas en el mejor de los casos en algunos libros se daban únicamente las respuestas a los problemas pares o nones en la parte trasera de libro, y en otros libros no se daba respuesta alguna. En la escuela preparatoria, esta pésima práctica editorial siguió refrendada no sólo en mis libros de matemáticas (geometría analítica y cálculo) sino también en los libros de ciencias (química y física). Y al pasar a la profesional esto empeoró a grado tal de que varios de los libros no tenían ni siquiera la respuesta a los problemas pares o nones, no tenían respuesta alguna. Y ya desde entonces una pregunta circulaba por mi mente: ¿cuál es el objeto de proponer cierto problema o ejercicio al final de cada capítulo para su resolución por parte del estudiante cuando no se le proporciona una respuesta a dicho problema con la cual el estudiante pueda cotejar sus resultados? Esta práctica convertía a muchos problemas de cálculo aritmético en una verdadera vacilada, ya que en un problema al final de algún capítulo en donde el autor del libro dijera algo como lo siguiente: "Calcular el volumen de un cono de dos metros de radio en su base y una altura de cinco metros", ¿qué más daba si el estudiante en lugar de usar una altura de cinco metros usaba para el cono una altura de veinte metros o, más fácil aún, una altura de un metro? Al fin y al cabo, sin respuesta alguna proporcionada por el autor, dá lo mismo usar los números inventados por el autor de un libro que los números inventados por uno mismo.

Recuerdo que cuando cursaba mis estudios cuestioné esa práctica duramente, y en la universidad muchos maestros casi siempre me salían con la misma respuesta. Me decían "los libros de termodinámica, estadística, etc. no dan ninguna respuesta porque en la práctica a un profesionista no se le dan las respuestas, el profesionista debe sentirse seguro de que él está dando una respuesta correcta a quienes están acudiendo para procurar su ayuda y sus servicios como profesionista". Lo cual, algunas décadas después, me parece francamente un argumento estúpido, porque la seguridad y la plena confianza en uno mismo sólo pueden llegar con la práctica cuando se tiene de antemano una base sólida de conocimientos sin lagunas ni boquetes que sólo pueden ser origen de dudas y desconfianzas. Otros maestros me daban otro tipo de respuesta, argumentando que la razón por la cual muchos de los libros en las carreras de ciencias e ingeniería no daban respuestas ni soluciones era porque ello aumentaría el costo de los libros, lo cual nunca me pareció una buena excusa considerando que unas quince o veinte páginas extra incluyendo las respuestas a los problemas en un libro de cuatrocientas o quinientas páginas no podría aumentar tanto el costo del libro. Y aún otros argumentaban que el no dar respuestas forzaba a los estudiantes a recurrir a su creatividad y su ingenio para buscar formas de confirmar los resultados obtenidos sobre cada problema o ejercicio. Pero ¿de qué sirve tener mucha creatividad y mucho ingenio para resolver todos los problemas al final de cada capítulo de un libro si no hay respuestas con las cuales el alumno puede tener la confirmación de que está atinando correctamente en todas sus respuestas?

Ahora, con la experiencia que me dá la madurez como profesionista, puedo afirmar de modo categórico mi punto de vista de que todos esos argumentos son en su mayoría argumentos perfectamente idiotas o equivocados, y voy a dar más razones del por qué sostengo firmemente este punto de vista.

El incluír las respuestas en cualquier libro de ciencias e ingeniería le proporciona al alumno la oportunidad, pedagógicamente valiosa, de cotejar su respuesta con la que dá el autor del libro, y si el autor del libro hizo bien su trabajo poniendo respuestas correctas a sus propios problemas propuestos, entonces al no coincidir algunas de las respuestas obtenidas por el alumno con las respuestas que dá un autor esto prácticamente obliga al estudiante deseoso de aprender a repasar de nuevo su solución hasta encontrar el paso en donde se desvió de la solución correcta que debería de haber obtenido. Posiblemente se trate de una simple equivocación aritmética, y en tal caso ello acostumbrará al estudiante a tratar de ser un poco más cuidadoso y metódico con sus cálculos. Pero posiblemente no se trate de una simple equivocación en la aritmética, posiblemente se incurrió en un error serio de entendimiento del material de estudio, un error con el cual aunque todos los pasos aritméticos sean correctos no habrá forma de obtener una respuesta que coincida con la que dá el autor. Esto obliga al estudiante a examinar con mayor detenimiento su lógica, sus razonamientos, sus juicios, lo que aprendió, en fin, todo, y si pasado cierto tiempo sigue sin obtener la respuesta correcta entonces tal vez no le quedará más opción que acudir con el maestro de la clase para obtener su ayuda, y casi siempre por lo general al descubrir la naturaleza del error el estudiante logra una especie de "iluminación", una especie de "eureka", diciéndose a sí mismo "por fín ya comprendí la naturaleza de mi error, y he aprendido algo nuevo el día de hoy". Pero sin solución del autor contra la cual comparar su respuesta, el estudiante se quedará con una duda que podrá durarle por el resto de su vida.

La inclusión de las respuestas (o mejor aún, las soluciones abreviadas) a los problemas propuestos en un libro puede ser un poderoso estímulo para que el alumno se anime a seguir estudiando más a fondo una materia técnica o científica cada vez que confirma que ya obtuvo la misma respuesta (correcta) que la que obtuvo el autor, comprobándose a sí mismo que su entendimiento del material es adecuado, aumentándose la confianza en sí mismo. Esto es algo que en teoría de sistemas se llama retroalimentación (feedback), y es retroalimentación positiva. Cuando no hay solución ni respuestas a los problemas propuestos, no hay retroalimentación, no hay incentivo alguno a que el alumno continúe estudiando más material por su propia cuenta al graduar de un curso, como si fuese un monólogo en el que el tutor se la pasa hablando todo el tiempo sin permitirle a su interlocutor interactuar con él. Cero retroalimentación, cero interacción, cero confirmación sobre la certeza de los conocimientos adquiridos. No se puede caer ya más bajo que esto. Todo aquél que haya estudiado sistemas de control sabe que la retroalimentación es la herramienta más poderosa que existe para darle un alto grado de estabilidad a un sistema, y la retroalimentación está basada precisamente en la detección de una señal de error (la cual ocurre cuando el sistema se está desviando de su curso correcto), es el conocimiento preciso del error lo que permite a un sistema tomar su propia acción correctiva modificando su curso para minimizar o eliminar el error por completo. Sin retroalimentación, cualquier sistema en la naturaleza es inherentemente inestable, a grado tal que puede terminar en su propia autodestrucción.

Una carrera en la cual no se le niegan las respuestas al estudiante es la carrera de medicina. Pero esta es una carrera en la cual no se le pueden negar las respuestas al estudiante porque al graduar de la carrera tendrá las vidas de otros en sus manos, y un mal diagnóstico o un mal tratamiento causado por una mala preparación en el médico pueden resultar fatales para sus pacientes, se trata de un asunto de vida o muerte.

Supongamos por un momento que la carrera de medicina fuera igual que las carreras de ciencias e ingeniería, y que el aprendizaje del futuro médico se llevara a cabo con ejercicios y problemas mentales a los cuales no se les dá solución ni respuesta alguna ni siquiera en la parte trasera del libro. Supongamos que uno de esos problemas es el siguiente:

PROBLEMA: Un paciente del sexo masculino de 47 años de edad y 98 kilos de peso se presenta con un cuadro clínico en el cual ha caído víctima del sarampión además de haber contraído previamente desde hace cuatro meses una infección diagnosticada como "hepatitis A". ¿Cuál es el tratamiento médico recomendado a seguir por un paciente que presenta este cuadro clínico?

Supongamos ahora que este problema forma parte de unos doscientos o trescientos problemas puestos en diversos capítulos de un libro de texto, tal y como ocurre con los libros de texto en las carreras de ciencias e ingeniería. Y supongamos que, tal y como ocurre en las carreras de ciencias e ingeniería en las cuales los estudiantes casi nunca alcanzan a cubrir en clase la solución ni siquiera de la quinta parte de los problemas que trae cierto libro de texto, un grupo de estudiantes de medicina no alcanza a cubrir dentro del tiempo de la materia la solución a este problema que he propuesto.

¿Le gustaría realmente a alguien que haya caído víctima del sarampión después de haber contraído previamente desde hace cuatro meses una infección diagnosticada como hepatitis A el ponerse en manos de cualquiera de estos médicos que nunca vieron la solución de este problema en clase? ¿Confiaría realmente en alguno de ellos? Puesto que los estudiantes de medicina en nuestro hipotético caso no vieron jamás la solución a este problema en el salón de clases, ni el maestro de la materia les dió jamás la solución al mismo, y aunque formularan en sus mentes alguna solución a este problema no hubo forma de comparar sus respuestas con las enseñanzas que debería de estar impartiendo el autor de libro por no incluír el autor del libro respuesta alguna a dichos problemas, tales médicos serían médicos incompletos, médicos de la peor clase.

¿A quién le gustaría caer en manos de un médico así entrenado?

Esta es la razón por la cual, al menos en las carreras de medicina y enfermería, se le proporcionan (o se le deben proporcionar) a los estudiantes absolutamente todas las respuestas a todos los problemas que puedan encontrar en la práctica, no se les debe dejar graduar con ninguna duda, porque al graduar se supone que no van a usar a sus pacientes como conejillos de indias para ver si la respuesta que se les viene a la mente para tratar un problema así es la correcta. Van a tener las vidas de sus pacientes en sus manos, y un error por una preparación académica inadecuada puede ser mortal para el enfermo que será atendido por un médico que no tuvo jamás en sus manos la respuesta al cuadro clínico presentado por el enfermo.

Ahora bien, si a los estudiantes de medicina y enfermería se les dán todas las respuestas a todos (o la gran mayoría) de los problemas que puedan encontrar en la práctica, ¿por qué se les va a negar ese mismo privilegio a los estudiantes en las carreras de ciencias e ingeniería? ¿Por qué razón ellos habrán de ser diferentes?

Naturalmente, la inclusión de las respuestas y soluciones a los problemas propuestos en una obra en Internet o en un libro impreso no deben ser utilizados como un atajo para no aprender a pensar por cuenta propia. El estudiante, si realmente quiere aprender, debe hacer un esfuerzo por tratar de resolver primero cada problema, y solo debe echarle un vistazo a la solución cuando haya terminado de resolverlo "según él". Y si la respuesta resulta ser diferente, entonces debe aprovechar la oportunidad de contar con la respuesta para examinar la solución correcta con el fin de localizar la fuente de su error. Y al localizar la fuente de su error, es posible que aprenderá algo nuevo que le dará una "iluminación".

Libros de ciencias e ingeniería publicados por casas editoras como Limusa-Wiley, Prentice Hall y Addison-Wesley casi nunca dan soluciones a los problemas propuestos por los autores, y si las dan las reparten en manuales de soluciones a los cuales únicamente los maestros tienen acceso, lo cual no beneficia en nada a los estudiantes que van a graduar de cada materia con lagunas enormes en las cuales hubo mucho material que no cubrieron en su tiempo de clase, ya que la gran mayoría de los maestros que cuentan con esos manuales de solución no tienen tiempo en sus clases para cubrir todos los problemas que vienen puestos al final de cada capítulo de cada libro, algunos apenas alcanzan a cubrir unos cuatro o cinco problemas de un capítulo que generalmente consta de unos treinta, cuarenta o cincuenta problemas, agravado por el hecho de que la gran mayoría de los autores frecuentemente incluye más material de estudio y más problemas que los que se alcanzan a cubrir en un semestre o un año de estudios, dejándole al maestro o a los alumnos la difícil tarea de adivinar cuáles son los problemas verdaderamente importantes para su educación y cuáles son los problemas que podrían clasificarse como "problemas de relleno". Anteriormente estas casas editoras se podían escurrir con estas prácticas y seguir vendiendo sus libros porque los libros de texto publicados por ellas eran en muchas ocasiones la única opción de material de aprendizaje. Pero hoy con la llegada de Internet se posibilita hacerle la competencia a estas casas editoras publicando libros de texto completos que, por vez primera, pueden incluír las soluciones completas a los ejercicios propuestos. Y cualquier estudiante ávido de estudiar y de aprender, muy en especial el estudiante autodidacta que no tiene a su alcance un maestro que lo pueda ayudar aclarándole sus dudas, preferirá mil veces la lectura de un libro que contiene la solución completa a todos los problemas propuestos que un libro que solo trae las respuestas a los ejercicios pares o impares en la parte trasera o peor aún que no trae respuesta alguna. Y en realidad, si tenemos ya a Internet, ¿quién necesita realmente los libros costosos publicados por estas casas editoras que, al no incluír respuestas y soluciones, necesariamente deben ser calificados y clasificados como obras incompletas? En esto, los efectos de Internet para revolucionar la diseminación abierta de los conocimientos apenas se están comenzando a sentir, y es muy posible que en menos tiempo del que nos imaginamos algún maestro comience a publicar en Internet, en español, cuadernos de aritmética equivalentes en todos respectos a los cuadernos Gader usados en la escuela primaria, con la diferencia de que su libro contendrá las soluciones y las respuestas a todos los ejercicios de aritmética propuestos, con lo cual libros y cuadernos de ejercicios como los cuadernos Gader y sus sucesores e imitadores habrán de morir una muerte natural por obsoletos, víctimas de su propia obsolescencia e inutilidad, incapaces de poder competir con mejores alternativas.

En lo que a mí respecta, yo jamás insultaré a ninguno de mis lectores metiendo problemas y ejercicios en publicaciones mías de carácter técnico y científico en los cuales no proporcione respuesta alguna. Todos los problemas vendrán acompañados con su solución o respuesta, y si hay algún problema que no incluya esto entonces se le añadirá al problema la respuesta o en caso contrario el problema será eliminado, borrado por completo, desaparecido de la faz del planeta, como espero que ocurra con esos prehistóricos cuadernos Gader y sus imitadores a los cuales les debo muy poco o mejor dicho nada en mi preparación como físico-matemático.