El siguiente diagrama nos muestra lo que ocurre cuando se le aplica a una muestra de un átomo alcalino en un estado P un campo magnético que empieza como campo magnético débil y termina en lo que viene siendo considerado como un campo magnético fuerte (las curvas sólidas han sido graficadas usando una expresión semi-empírica válida para todos los valores del campo magnético):
En el diagrama en donde la coordenada horizontal está graduada en unidades que corresponden a:
δE es la brecha energética que separa los dos niveles 2P1/2 y 2P3/2 que corresponden al doblete del estado P. Obsérvese cómo bajo la aplicación del campo magnético B el nivel energético que corresponde a 2P3/2 empieza a desdoblarse (en la región del campo magnético débil) en cuatro subniveles energéticos, mientras que el nivel energético que corresponde a 2P1/2 empieza a desdoblarse en dos subniveles energéticos. Las transiciones que se puedan llevar a cabo a causa de los seis subniveles energéticos por la aplicación del campo magnético B darán un comportamiento en las líneas espectrales propio de un efecto Zeeman anómalo. Los niveles energéticos mostrados con líneas punteadas en la región izquierda de la gráfica son los que se obtienen teóricamente con aproximaciones perturbativas en la zona que corresponde a un campo magnético débil, mientras que los niveles energéticos mostrados con líneas punteadas en la región derecha de la gráfica son los que se obtienen teóricamente con aproximaciones perturbativas en la zona que corresponde a la región de campo magnético fuerte, mientras que en la zona intermedia no se puede aplicara la Teoría de las Perturbaciones al haber dos perturbaciones de magnitudes comparables pero originadas por causas físicas distintas. En el extremo derecho del diagrama que corresponde a la región del campo magnético fuerte, se aprecia que el subnivel energético inferior del nivel 2P3/2 empieza a confundirse con el subnivel energético superior del nivel 2P1/2 correspondiendo a los números cuánticos:
y para fines prácticos se tienen ya solo cinco subniveles energéticos capaces de producir en apariencia tres líneas espectrales que resultan de los cinco subniveles energéticos igualmente espaciados, produciendo por lo tanto las líneas espectrales que corresponden a un efecto Zeeman normal. Sobre ésto último hay que aclarar que para que se produzcan las líneas espectrales los saltos cuánticos se deben llevar a cabo no entre los niveles energéticos que corresponden al mismo orbital P sino yendo al orbital S que está energéticamente más abajo de todos los subniveles que corresponden al orbital P, y en realidad no se producen tres líneas espectrales sino seis líneas espectrales las cuales parecen ser solo tres debido a la cercanía energética entre pares de líneas que suelen confundirse entre sí en los espectroscopios económicos de baja resolución. Éste tipo de comportamiento es lo que se conoce como el efecto Paschen-Back nombrado así en memoria de sus descubridores Friedrich Paschen y Ernst Back. El campo externo fuerte destruye el acoplamiento LS spin-órbita y deja de tener significado la suma vectorial L+S. Al desbaratarse el acoplamiento LS por acción del campo magnético externo intenso, los vectores L y S ya independientes el uno del otro realizan sus giros de precesión alineado paralelamente s en torno al campo magnético B, actuando independientemente el uno del otro como lo muestra la segunda de las siguientes dos figuras:
De éste modo, al aumentar la intensidad del campo magnético B va creciendo la separación entre líneas espectrales, y dos componentes de los multipletes de rayas espectrales vecinas empiezan a confundirse hasta que finalmente quedan solamente las correspondientes al espectro Zeeman normal. Se trata, en efecto, del paso del efecto Zeeman anómalo al efecto Zeeman normal.
En rigor de verdad, con un espectroscopio lo suficientemente potente se encuentra que las tres líneas espectrales propias del efecto Zeeman normal y tomadas como tales por el efecto Paschen-Back resultan ser no tres sino seis, pero al estar agrupadas en pares cercanos lo que en realidad son seis pares de líneas espectrales que podemos simbolizar como α, β y γ se pueden confundir dando la impresión de que tan solo hay tres líneas espectrales en el espectrograma cuando en realidad hay seis como lo sugiere el siguiente diagrama:
Niveles energeticos y lineas espectrales propias del efecto Paschen-Back:
En el efecto Paschen-Back, en relación a los dos niveles energéticos que parecen irse aproximando el uno al otro asintóticamente conforme bajo la acción de un campo magnético fuerte se va destruyendo la perturbación ocasionada por la interacción spin-órbita, ¿se puede esperar que con un campo magnético extraordinariamente fuerte se puedan llegar a tocar tales niveles energéticos confundiéndose realmente en uno solo? La respuesta es no, y sorprendentemente ello se debe a algo de naturaleza fundamentalmente distinta, y en esto sale a relucir un dato que nos llega no de la Mecánica Cuántica tradicional sino de la Teoría del Campo Cuántico: la relación giromagnética del electrón no es igual a 2 exactamente. El valor real del factor g para el electrón, predicho por la Electrodinámica Cuántica y confirmado experimentalmente en numerosas ocasiones, es:
ge = 2.0023193043618
Esto ocasionará que en un diagrama de niveles de energía, para un campo magnético extraordinariamente intenso, se tenga una situación como la siguiente en la cual los dos niveles energéticos que parecía que se iban a encontrar se mantienen paralelos el uno al otro (obsérvese con cuidado en el diagrama la separación fina resaltada por las dos líneas horizontales de color azul):
PROBLEMA: Obténgase, en magnetones de Bohr, la separación fija remanente que debe quedar entre niveles energéticos próximos como el nivel 2P1/2 y el nivel 2P3/2 bajo la aplicación de un campo magnético extraordinariamente intenso.
En virtud de que la razón giromagnética del electrón no es exactamente igual a 2, para el cálculo de la suma de números cuánticos requeridos para describir los niveles energéticos propios del efecto Paschen-Back en vez de ser:
ml + 2ms
pasa a ser:
ml + 2.0023193043618ms
De éste modo, para ml.=.+1 y ms.=.-½ se tiene:
________ml + 2.0023193043618ms
__________ = 1 + (2.0023193043618)(-1/2)
__________ = - 0.00115965218
mientras que para ml.=.-1 y ms.=.+½ se tiene:
________ml + 2.0023193043618ms
__________ = - 1 + (2.0023193043618)(+1/2)
__________ = + 0.00115965218
La diferencia entre ambos valores expresada como múltiplo del magnetón de Bohr es:
ΔμB = [ + 0.00115965218 - (- 0.00115965218 ) ] eħ/2m
ΔμB = (0.00231930436)eħ/2m
ΔμB = 0.00231930436 magnetones de Bohr
Si agregamos al efecto Zeeman para un campo magnético intenso la corrección perturbativa de primer orden que corresponde a la estructura fina que a su vez toma en cuenta como contribuciones tanto el efecto de la corrección relativista como la corrección debida al acoplamiento spin-órbita, la cual es:
entonces, usando el hecho de que:
para lo cual se ha tomado en cuenta algo que ya hemos visto y discutido en entradas previas:
para los estados eigen de Lz y Sz, se tiene por lo tanto que:
Podemos simplificar ésto recurriendo al siguiente resultado intermedio:
Otro resultado intermedio que podemos utilizar para simplificar la expresión de la energía perturbada bajo un efecto Zeeman con campo magnético intenso es el siguiente substituyendo el radio de Bohr a0 por la expresión que nos dá su valor:
De éste modo se tiene el siguiente resultado:
Se recalca que lo que se acaba de obtener no es la energía total de cada nivel, es únicamente la contribución de la estructura fina a un primer orden de corrección perturbativa a la energía total.
Como un ejercicio en el manejo de problemas relacionados con el efecto Zeeman bajo un campo magnético intenso usando el resultado que se acaba de obtener arriba, a continuación se llevará a cabo el cálculo de los niveles de energía que corresponden a los ocho estados para los cuales el número cuántico principal es n.=.2 (por razones de simplicidad, en el ket mostrado se omitirá el símbolo con el cual se simboliza la función de onda en sí, y se usarán los sub-índices que corresponden a cada uno de los cuatro números cuánticos que están siendo utilizados):
tomando en cuenta las contribuciones de la energía Bohr, la contribución por el campo magnético intenso, y la contribución producida por la energía de la estructura fina.
En todos los ocho casos, la energía Bohr es la misma:
La contribución energética causada por el efecto Zeeman bajo la aplicación de un campo magnético intenso es, desde luego:
mientras que la contribución energética ocasionada por la estructura fina es:
o bien, para n.=.2:
Para fines de simplicidad y con la finalidad de evitar confusiones en caso de incurrir en alguna equivocación, definiremos como algo intermedio una constante K evaluada de la siguiente manera:
De éste modo, efectuando evaluaciones numéricas obteniendo los siguientes resultados intermedios para K:
podemos formar la siguiente tabla en la cual se resumen los niveles de energía anticipados para un estado n.=.2 a causa del efecto Zeeman bajo la aplicación de un campo magnético intenso:
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PROBLEMA 6.24
En la relación:
el lector tal vez se haya dado cuenta ya de que existe un problema de intedeterminación (división por cero) cuando l.=.0 que es también un número cuántico válido. ¿Qué para ésto?
Es imposible tratar de conciliar el efecto Zeeman clásico (normal) con el efecto Zeeman cuántico (anómalo) porque las explicaciones teóricas de ambos efectos se basan en mecanismos físicos completamente diferentes que no tienen nada que ver el uno con el otro.
Para ciertas cosas, tales como la detección y confirmación y confirmación del efecto Paschen-Back sin el menor rastro de duda, se requiere de campos magnéticos muy fuertes que no son fáciles de producir en la gran mayoría de los laboratorios ordinarios de física, y lo más probable es que el lector no verá uno de tales generadores de campos magnéticos fuertes. Del mismo modo, para poderse observar muchos de los desdoblamientos en los niveles energéticos por virtud del efecto Zeeman anómaloa reportados en la literatura contemporánea, se requiere de espectógrafos tan sofisticados y tan sensibles de resolución tan elevada que en algunos casos solo existen unos cuantos de su tipo en una cantidad limitada de bien financiados laboratorios. Siendo así, el lector se preguntará: ¿qué caso tiene quebrarse la cabeza asimilando conceptos como el efecto Zeeman cuyos efectos en la mayoría de los casos no podremos constatar directamente por cuenta propia por requerirse de equipo caro y sofisticado que muchas veces es construído con ése solo propósito sin tener otras aplicaciones en otras áreas? La relavancia de tales conocimientos y avances reportados en la literatura técnica y científica es que nos permiten seguirle tomando cada vez más confianza a los modelos matemáticos desarrollados dentro de la rama del saber conocida como la Mecánica Cuántica. Gracias al efecto Zeeman, tenemos la confirmación de la existencia de lo que llamamos subcapas electrónicas en el átomo sin las cuales el enlace químico no sería posible. Puesto que ningún humano ha observado en tiempo real con sus propios ojos el interior de un átomo, siempre quedará la sospecha de que el modelo probabilista de la Mecánica Cuántica es una sobresimplificación detrás de la cual se esconden cosas tales como campos de fuerza de naturaleza desconocida interactuando de una manera tan compleja que está fuera de nuestra capacidad de comprensión. Desde que Wolfgang Pauli propuso el modelo de spin del electrón para explicar los resultados del experimento Stern-Gerlach con un cuarto número cuántico, sugiriendo que se visualizara al electrón como una esfera de carga eléctrica uniforme girando sobre su propio eje, nadie en realidad toma en serio tal visualización que se considera una sobresimplificación teórica a lo que verdaderamente debe de estar ocurriendo a nivel submicroscópico. Pero lo importante es que las matemáticas de la Mecánica Cuántica siguen funcionando, se trata de las mismas matemáticas que permiten asentar sobre bases sólidas la Tabla Periódica de los elementos, son matemáticas de extraordinario poder predictivo que han hecho posible el desarrollo de cosas tan sofisticadas como el microscopio electrónico, el rayo láser y la tomografía computarizada. Y en ello radica la importancia de experimentos como los que hacen uso del efecto Zeeman para seguir mejorando los modelos teóricos que tenemos del mundo submicroscópico. Al menos en la parte matemática estamos sobre la pista correcta, tenemos algo con qué trabajar hacia el mismo interior del átomo aunque las visualizaciones que se puedan desprender de la teoría tengan poco que ver con lo que realmente está sucediendo más allá de nuestro campo visual. Y hasta el momento nadie ha propuesto algo mejor.
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