Una demostración Einsteniana

No se asuste nadie, no vamos a llevar a cabo aquí algún malabarismo intelectual que requiera quebrarse mucho la cabeza.

En ocasiones, existen varias respuestas en la Naturaleza para una misma cosa, y curiosamente, son las soluciones más sencillas a un asunto las que ofrecen una mayor dificultad para ser descubiertas, confirmando la sabiduría popular de que si no hemos "dado en el clavo" en algo, es precisamente por lo sencillo de la solución.

Tomemos como ejemplo el Teorema de Pitágoras, uno de los más famosos teoremas de la geometría. Esta es una de las primeras relaciones matemáticas que los estudiantes aprenden al pasar de la escuela primaria a la escuela secundaria, la cual nos dice que en todo triángulo rectángulo (aquél en el cual uno de sus ángulos internos es de noventa grados, o lo que es lo mismo, aquél en el cual uno de sus lados es trazado en forma perpendicular a otro) el cuadrado de la hipotenusa (el lado mayor) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos). Expresado en notación algebraica:

c² = a² + b²

En muchas escuelas con malos (por no decir pésimos) maestros con deficientes sistemas de enseñanza educativa, es común que simplemente se le dé la fórmula al estudiante para que se la aprenda de memoria, sin decirle de dónde salió la fórmula. Esta fórmula, desde luego, no salió de la nada, tiene un origen, puesto que la fórmula era conocida desde los tiempos de Pitágoras (su descubridor) en la antigua Grecia, cuando el álgebra aún no había sido inventada. Un buen plan de estudios impondrá como prerequisito sobre los estudiantes de enseñanza media la condición de que tomen la materia de Geometría impartida tal y como se enseñaba en la época clásica, partiendo de los axiomas básicos de Euclides y derivando todas las relaciones geométricas conocidas a partir de ellos. La geometría es mucho más que andarse aprendiendo fórmulas de memoria y el andarse aprendiendo también de memoria los nombres y las definiciones de muchas figuras geométricas. La materia de Geometría, bien impartida, enseña al alumno a una cosa mucho más importante que andarse aprendiendo de memoria muchas cosas. Lo enseña a no aceptar ni creer en ninguna aseveración matemática hasta que alguien o él mismo pueda obtenerla de una manera lógica y consistente, si violar las reglas. La Geometría, en esencia, es el primer contacto real del estudiante con el verdadero espíritu de las matemáticas: aprender a llevar a cabo demostraciones impecables, desprovistas de error. En efecto, la Geometría es una materia que realmente puede enseñar al alumno a pensar.

Volviendo al tema del Teorema de Pitágoras, este teorema tiene varias formas en que puede ser demostrado. Una de ellas se basa generalmente en tomar un triángulo rectángulo y subdividirlo para crear a partir del triángulo original dos triángulos que mantienen la misma proporción con el triángulo original, tras lo cual se inicia un proceso que puede resultar laborioso para los estudiantes perezosos.

Sin embargo, existe una demostración del Teorema de Pitágoras que nos permite llegar al mismo en unos cuantos pasos. Esta demostración, sencillísima, no había sido descubierta por nadie, hasta que hizo su aparición un joven estudiante de 11 años llamado Alberto Einstein, el padre de la Teoría de la Relatividad, quien siempre andaba buscando la manera de simplificar las cosas y para quien varias de las demostraciones de Euclides eran innecesariamente complicadas. Esta es la demostración que veremos a continuación.

Antes que nada, para poder continuar, echaremos recurso de otro teorema de la geometría Euclideana, el cual nos dice que las áreas de dos figuras semejantes son proporcionales a los cuadrados de sus lados homólogos. Visto de otra manera, esto nos permite afirmar que la razón aritmética r que existe entre las áreas de dos figuras geométricas semejantes (obtenida dividiendo una de las áreas entre la otra) es igual al cuadrado de la razón entre dos de sus dimensiones lineares correspondientes. Como ejemplo ilustrativo, podemos llevar a cabo la comparación entre dos círculos de radios diferentes, los cuales nadie nos argumentará que no son figuras semejantes.

Denotando las áreas de cada círculo como A y B, denotando sus radios respectivos como a y b, sabemos de antemano que el área de cada círculo está dada por las relaciones:

A = πa²

B = πb²

Si dividimos ambos lados de ambas expresiones entre sí, obtenemos lo siguiente:

(A/B) = (πa²/πb²) = (a²/b²) = (a/b)²

(A/B) = (a/b)² = r

Esto nos confirma la validez del teorema, aplicado al caso de los círculos, de que las áreas de dos círculos semejantes son proporcionales a los cuadrados de sus radios homólogos, y por la tanto la razón matemática r calculada para ambos casos nos debe dar el mismo valor (esto es, si dividimos el área de uno de los círculos entre el área del otro, obtendremos el mismo resultado numérico que el que obtendríamos mediante el cuadrado de la razón entre los radios homólogos).

Para los dos círculos mostrados, el teorema es muy fácil de demostrar usando números. Por ejemplo, usando la fórmula para el área de un círculo, calcúlense las áreas A y B de dos círculos, uno con 6 metros de radio, y el otro con 2 metros de radio, y tras esto divídanse los resultados, obteniéndose así un valor de r igual a 9. Hecho esto, si simplemente dividimos los radios a y b, obteniendo un valor de 3, y lo elevamos al cuadrado, nuevamente obtenemos el mismo valor de r, lo cual confirma el teorema que usaremos de apoyo. Esto es todo lo que necesitamos para llevar a cabo la demostración del Teorema de Pitágoras sobre un triángulo rectángulo. Antes de continuar, hay que aclarar que el teorema que estamos utilizando como punto de partida también tiene su propia demostración rigurosa, no salió de la nada. La demostración puede ser consultada en cualquier buen libro de texto de Geometría que sea accesible al nivel básico de los estudiantes de Secundaria (de los cuales, desafortunadamente, no hay muchos hoy en día, siendo uno de ellos el "Curso de Geometría" del Maestro Felipe de Jesús Landaverde).

Puesto que los diámetros de los dos círculos A y B también son lados homólogos de dichas figuras, siendo el diámetro de un círculo igual al doble de su radio, es fácil ver que el teorema seguirá siendo válido, permitiéndonos afirmar que las áreas de dos círculos semejantes son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros homólogos.

Ahora tomamos un triángulo rectángulo y lo acostamos sobre su hipotenusa, trazando una altura que por construcción subdividirá a dicho triángulo rectángulo en dos triángulos A y B, semejantes al triángulo original que llamaremos C, lo cual no es difícil de ver (o de demostrar), tomando en cuenta que, por construcción, los ángulos internos de cada uno de los dos subtriángulos será igual a los ángulos internos del triángulo original, lo cual hace que las tres figuras geométricas guarden una relación de semejanza:

Así, en la figura de arriba realmente tenemos tres triángulos rectángulos, los subtriángulos rectángulos cuyas hipotenusas son a y b, y el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es c.

Aplicando el mismo teorema que ya invocamos para el caso de los círculos, podemos afirmar que las áreas de dos triángulos semejantes son proporcionales a los cuadrados de sus lados homólogos. Aquí seleccionaremos como lados homólogos las hipotenusas de cada uno de los tres triángulos.

Si las áreas de dos triángulos semejantes son proporcionales a los cuadrados de sus hipotenusas, entonces podemos convertir la relación de proporcionalidad en una relación de igualdad introduciendo un factor numérico k. En el caso de los círculos, ese factor numérico, esa "constante de proporcionalidad", era el número π, en la fórmula A = πa² Aquí lo llamaremos k para el caso de un triángulo rectángulo referenciado a su hipotenusa. Siendo así, tenemos la siguiente "fórmula" relacionando el área C de un triángulo rectángulo con el cuadrado de su hipotenusa c mediante una constante numérica que llamaremos k:

C = kc²

La constante multiplicativa k de hecho será igual al producto de la base del triángulo rectángulo multiplicado por la altura del mismo dividido todo entre el doble del cuadrado de la hipotenusa c (esto se puede deducir rápidamente usando la fórmula convencional que nos dá el área de un triángulo en función de su base y su altura). Sin embargo, este detalle no nos concierne en lo absoluto.

Lo que hemos hecho ha sido definir una fórmula para el área de un triángulo rectángulo en función del cuadrado de una dimensión linear del mismo, su hipotenusa, ello suponiendo que conocemos el valor de la constante multiplicativa k (lo cual hace que nuestra "fórmula" no sea muy útil en la práctica). Lo importante aquí es que, para triángulos rectángulos semejantes (obtenidos uno del otro mediante ampliación o reducción "fotográfica"), la fórmula será la misma, con el mismo valor de k, y al igual que en el caso de dos círculos A y B con radios respectivoss a y b en donde la constante multiplicativa es el número π (pi), aquí la constante multiplicativa (k) se mantendrá igual por ser precisamente figuras semejantes. Por extensión, las áreas de los dos subtriángulos rectángulos A y B serán, respectivamente:

A = ka²

B = kb²

en donde la constante k tendrá el mismo valor en ambos casos por ser figuras semejantes. La veracidad de estas relaciones se deduce inmediatamente del hecho de que si dividimos las fórmulas correspondientes para dos de los triángulos, por ejemplo el triángulo C y el triángulo A:

C/A = (kc²)/(ka²) = c²/a² = (c/a)² = r

obtenemos precisamente la razón r del teorema que hemos invocado al principio, con la confirmación del hecho de que el valor de r que se obtiene dividiendo las áreas de los triángulos es el mismo que el que se obtiene con el cuadrado de la razón de los dos valores lineales de las hipotenusas de las dos figuras semejantes.

Ahora bien, el área total del triángulo original será igual a la suma de las áreas de los dos subtriángulos, en esto no obtendremos cuestionamiento de nadie:

C = A + B

Usando las tres relaciones anteriores, obtenemos:

kc² = ka² + kb²

lo cual dividiendo todo entre k se simplifica de inmediato a lo que conocemos como el Teorema de Pitágoras:

c² = a² + b²

En cada paso de esta demostración, pese a su sencillez, he tratado de ser lo más riguroso posible. Este es un requerimiento básico de las matemáticas porque, además de los errores y equivocaciones que uno pueda cometer uno al estar llevando a cabo alguna operación matemática, existen fallas de fondo que no se deben a una simple equivocación en llevar a cabo alguna multiplicación o división. En efecto, partiendo de algún enunciado básico y trabajando sobre el mismo sin cometer equivocaciones obvias, siguiendo una secuencia lógica paso por paso que parece impecable, podemos llegar a un absurdo, como nos lo muestra la siguiente secuencia en la cual se demuestra que ¡cinco es igual a seis!:

En este caso, la "falla" no se debe a una equivocación que hayamos cometido en alguno de los pasos, los cuales parecen ser todos correctos. El problema esencial radica en un asunto completamente diferente, el hecho de que empezamos con un número negativo, y al sacar la raíz cuadrada en el cuarto paso de las operaciones, en donde todavía teníamos números negativos en ambos lados, omitimos el hecho de que, estrictamente hablando, la raíz cuadrada de un número puede tener tanto un signo positivo como un signo negativo. En otras palabras, obtenemos el mismo número positivo multiplicando +5 por +5 que multiplicando -5 por -5, y por lo tanto la raíz cuadrada de 25 puede ser +5 ó -5. Muchas demostraciones matemáticas importantes que parecían infalibles se han venido abajo y han resultado falsas precisamente por este tipo de detalles, sobre todo aquellas que tienen que ver con el infinito, el cual merece el respeto de cualquier matemático.

Esta "demostración" matemática de que cinco es igual a seis es un ejemplo de lo que comúnmente se conoce como un sofisma. Y no ocurre únicamente en las matemáticas. Ocurre también en muchas otras ramas del saber humano, sobre todo en la política. Es así como tenemos individuos que, partiendo de principios a los cuales les dan una categoría de verdad absoluta, van construyendo una cadena de razonamientos que también aceptan como verdadera en su sentido más absoluto, siendo que, sometida dicha cadena de razonamientos a una inspección cuidadosa desprovista de argumentos apasionados, resulta estar cargada de sofisterías. Es así como tenemos tres grandes religiones, la Católica, la Musulmana y el Judaísmo, las cuales creen en un mismo y único Dios todopoderoso, infinitamente sabio, infinitamente bueno, infinitamente misericordioso, y por lo tanto se debe suponer que ambas están alabando y orando exactamente al mismo Dios, y sin embargo, ello no ha sido impedimento alguno para que sus respectivos feligreses se hayan estado matando entre sí y se sigan matando entre sí, en nombre del mismo Dios al cual están alabando, usando como justificante sus propios argumentos, muchos de los cuales seguramente están cargados de sofisterías. Por eso a muchas de las sofisterías humanas se les llama dogmas, porque deben ser aceptadas tal cual, sin discusión, como verdad absoluta. ¡Y a matarse todos entre sí, se ha dicho, en aras de esas verdades absolutas!

Pese a que en el Teorema de Pitágoras siempre había existido, potencialmente, la sencilla solución que aquí se ha dado, la moraleja no se extiende por igual a otras áreas de las matemáticas. Hay otras cosas que resultan no tan fáciles de demostrar sin importar la técnica que se busque para llevar a cabo la demostración. Una de ellas es la demostración de que no es posible inventar una fórmula algebraica (como la famosa fórmula cuadrática) que nos permita obtener por las operaciones usuales de suma, resta, multiplicación y división, las raíces numéricas de cualquier polinomio de grado igual o mayor que cinco (con términos en la incógnita x elevados a una potencia igual o mayor que cinco), lo cual fue demostrado formalmente por vez primera por el matemático francés Evariste Galois, algo para lo cual primero tuvo que inventar lo que hoy es conocido como la teoría de grupos, una materia que se enseña a nivel de Licenciatura (o inclusive de Maestría) en las universidades. Otra cosa que se puede demostrar rigurosamente es el hoy ya famoso Teorema de Gödel, el cual nos dice que, esencialmente, no es posible demostrar que las matemáticas son consistentes a partir de un conjunto dado de axiomas; o visto de otra manera, hay expresiones matemáticas sobre las cuales no es posible demostrar por medio alguno si son ciertas o falsas; cualquier expresión matemática tiene que ser necesariamente falsa o verdadera, no puede ser ambas cosas a la vez, pero el Teorema de Gödel nos ilustra que hay algunas expresiones cuya veracidad o falsedad no es demostrable y la única manera de saber si son verdaderas o falsas es buscando algún ejemplo o contra-ejemplo que demuestre la veracidad o falsedad de la expresión que está siendo investigada. Este es un teorema para el cual el matemático Kurt Gödel tuvo que inventar un nuevo sistema de numeración llevando a cabo una asignación con números primos. Pues bien, una demostración ya no sencilla, sino al menos no tan laboriosa, del Teorema de Gödel, es algo que hasta el día de hoy ha sido imposible de lograr. ¿O será que existe una demostración de este teorema tan sencilla que precisamente por su sencillez ha evadido nuestra comprensión? En tal caso, se requerirá algo más que un individuo ordinario para descubrirla. Se requerirá de alguien como Alberto Einstein.