Estados coherentes II

a

Steeb, Willi-Hans; y Hardy, Yorick, Problems and Solutions in Quantum Computing and Quantum Information (segunda edición), World Scientific Publishing Company, 2006.

https://en.wikipedia.org/wiki/Squeezed_coherent_state

Al final de la entrada anterior en donde fue introducido el concepto de los estados coherentes, se mencionó que los estados Glauber no son los únicos estados coherentes capaces de saturar el principio de incertidumbre, una saturación que ocurre cuando el producto de los dos operadores correspondientes (posición y momentum) toma su valor mínimo:

Hay también estados coherentes “apachurrados” o squeezed en los cuales el principio de incertidumbre también es saturado.

El estado coherente más sencillo es el estado |0〉 del oscilador armónico cuántico.

|α〉es la siguiente familia de estados coherentes que satisfacen la identidad en el principio de incertidumbre. Frecuentemente, para cualquier estado coherente en el cual:

en “unidades naturales de oscilador” (haciéndose ħ.=.1) se utiliza el término de “apachurrado” o squeezed. La idea detrás de esto es que el círculo que denota un estado coherente en un diagrama de cuadratura ha sido “apachurrado” hasta ser convertido en una elipse de la misma área. En la gráfica superior al principio de ésta entrada que corresponde a la función de Wigner W(x,p) tenemos la proyección sobre el plano horizontal lo que es una elipse tal, y la amplitud en tres dimensiones nos revela lo “apachurrado” que está el estado coherente.

La función de onda más general que satisface la identidad en el principio de incertidumbre (cuando está saturado) en unidades “naturales” en las cuales ħ.=.1 es:

en donde C, x₀, w₀ y p₀ son respectivamente la constante de normalización C, el centro x₀ del paquete de onda, su anchura w₀, y la esperanza matemática de su momentum. La nueva característica aquí relativa al estado coherente es el valor libre de la anchura w₀, y es lo que conduce al estado coherente al estado apachurrado se llama squeezed.

El estado squeezed descrito por la anterior función de onda es un eigenestado del operador linear (obsérvese el uso del “carete” o “sombrero” puesto encima de los símbolos de la posición y el momentum para indicar que se trata de operadores):

mientras que el eigenvalor respectivo es (obsérvese la ausencia de los caretes):

Por la forma en que se ha definido, se puede decir que el estado squeezed es una generalización tanto del estado basal como del estado coherente Glauber.

Para un oscilador armónico cuántico, la forma general del estado coherente squeezed está dado por la siguiente expresión:

en donde |0〉es el estado del vacío (resaltado en color azul), D(α) es el operador de desplazamiento, y S(ζ) es el operador Squeeze (resaltado en color magenta) definidos de la siguiente manera:

En las definiciones dadas arriba se han introducido los operadores de aniquilación y creación, destacados como tales por el carete puesto encima de las letras que los identifica como operadores, y los cuales para un oscilador armónico cuántico de frecuencia ω están dados por (obsérvese que son conjugados complejos el uno del otro):

Para un eigenvalor ζ real, las incertidumbres en la posición y en el momentum están dadas por:

Obsérvese que, de acuerdo a éstas definiciones:

En pocas palabras, un estado squeezed satura el principio de incertidumbre de Heisenberg al igual que el estado Glauber, con incertidumbre reducida en una de sus dos componentes (posición, momentum) y con incertidumbre incrementada en la otra. Esto lo podemos ver con mayor claridad en los siguientes diagramas de funciones en donde en la figura del lado derecho tenemos un estado coherente Glauber que proyecta sobre las paredes amarillas sombras de alturas iguales en las incertidumbres en la posición q y el momentum p, mientras que en la figura del lado derecho tenemos un estado squeezed que proyecta sobre las paredes amarillas sombras de alturas desiguales en las incertidumbres en la posición q y el momentum p, siendo mayor la altura de la incertidumbre en el momentum que la altura de la incertidumbre en la posición, aunque de cualquier modo los productos de las distribuciones de ambas dispersiones sigue saturando el principio de incertidumbre:

Aunque los estados squeezed son estados coherentes, exhiben un comportamiento que se aparta del comportamiento clásico que distingue a los estados Glauber que no son squeezed. Parecería a primera vista que los estados squeezed son una deformación en donde es deseable manipularlos de alguna manera para el comportamiento de los mismos sea lo más “clásico” posible. Sin embargo, esto no es así, y de hecho los estados squeezed tienen algunas características que los hacen deseables para ciertas aplicaciones y experimentos, y lo difícil es impedir que los estados squeezed terminen perdiendo su comportamiento no-clásico acabando como estados Glauber.

En el estudio de los estados squeezed, es deseable recurrir a algo que se conoce como los diagramas de cuadratura de los cuales se muestran los siguientes tres ejemplos en donde es obvia la figura de la elipse de incertidumbre que corresponde a dichos estados:

Los diagramas de cuadraturas ayudan mucho en la representación y visualización conceptual de un estado coherente de luz. X y Y son lo que se conoce como variables conjugadas y representan las cuadraturas del campo electromagnético de la luz a una frecuencia ν:

en donde t es el tiempo. En todos los siguientes diagramas de cuadraturas:

la distancia OA representa la amplitud A del campo electromagnético, y el ángulo φ es la fase (los puntos en donde se tienen las picos y los fondos). La evolución temporal del campo electromagnético es mostrada a la derecha de cada figura. En la primera figura (extremo superior), el tamaño del disco verde representa las incertidumbres en la amplitud y la fase, ΔA and Δφ, iguales en valor. La segunda figura (puesta en medio) nos muestra un estado squeezed en donde ΔA es menor y Δφ es mayor que sus equivalentes coherentes en un estado no-squeezed, y puesto que se trata de un apachurramiento en la amplitud se tiene lo que se conoce como un squeezing de amplitud. La tercera figura (extremo inferior) nos muestra un squeezing de fase, en donde Δφ es menor y ΔA es mayor que sus equivalentes coherentes. Es instructivo comparar la evolución temporal del campo electromagnético que corresponde a cada una de las tres figuras, porque la franja verde en la onda senoidal de la primera figura nos muestra cómo no hay “apachurramiento” de la zona de incertidumbre, mientras que en la segunda figura es obvio que la incertidumbre en la amplitud ΔA ha disminuído al haber disminuído el grosor de la zona verde en la onda senoidal.



Considérese la definición matemática de la función de onda de amplitud A en su sentido más general, tanto clásico como cuántico, en una sola dimensión:

Agrégese ahora un ángulo de fase φ a la función de onda. Se tiene ahora lo siguiente:

En un diagrama de la función senoidal, el efecto del ángulo de fase es desplazar a la función de onda original de su posición inicial:

En la figura de arriba, ambas ondas senoidales tienen exactamente la misma frecuencia, la diferencia en el ángulo de fase φ es lo que las separa e impide que estén traslapadas. Lo más importante es que el concepto del ángulo de fase requiere que se mida con respecto a alguna referencia que puede ser otra función de onda senoidal de la misma frecuencia como en el ejemplo que se acaba de mostrar; sin una referencia fija es imposible asignarle un ángulo de fase a una onda senoidal.

Lo anterior supone que tanto la amplitud A como el ángulo de fase φ están determinados en forma exacta en todo momento sin ninguna incertidumbre. ¿Pero qué pasa cuando la amplitud A de la onda senoidal en vez de ir tomando un valor matemáticamente exacto en cada instante de tiempo contiene una incertidumbre inherente, además de tener también una incertidumbre inherente en el ángulo de fase φ, incertidumbres de las cuales no nos podemos deshacer simultáneamente para obtener así una onda senoidal “pura” sin incertidumbre alguna? Entonces la expresión matemática de la onda senoidal toma un aspecto como el siguiente:

Ésto debe empezar a arrojar ya un poco de luz sobre los diagramas de cuadratura a los que estamos haciendo referencia.

La función de onda de la cual estamos hablando arriba es una función de onda general. Pero en la óptica cuántica, específicamente, la amplitud a la que se hace referencia es a la de una onda electromagnética clásica, una onda electromagnética compuesta por dos campos, un campo eléctrico E y un campo magnético B, perpendiculares entre sí:





Aparentemente se nos presenta la ardua labor de tener que trabajar por separado y por duplicado, un tanto para los fenómenos ópticos producidos por el campo eléctrico E, y otro tanto para los fenómenos ópticos producidos por el campo magnético B. Sin embargo, en la óptica cuántica, y en general en todo lo que tiene que ver con la óptica clásica, semiclásica y cuántica, se opta por trabajar única y exclusivamente con la componente E del haz luminoso ignorando los efectos y complejidades que produzca el campo magnético B del mismo haz luminoso. ¿Y qué nos dá la justificación para enfocarnos únicamente en el campo eléctrico E del haz electromagnético? Un experimento llevado a cabo en 1890 por el físico Otto Wiener, conocido como el experimento de Wiener, descrito en las 40 páginas en su trabajo “Stehende Lichtwellen und die Schwingungsrichtung polarisirten Lichtes” (Ondas luminosas estacionarias y la dirección de oscilación de la polarización de la luz) publicado en el Annalen der Physik.

La idea detrás del experimento de Wiener es conceptualmente simple y elegante. En 1890 la idea de que la luz era una onda electromagnética era relativamente nueva, al haber demostrado James Clerk Maxwell teóricamente que las ecuaciones del campo electromagnético (las famosas cuatro ecuaciones de Maxwell) permitían soluciones ondulatorias que se propagaban a la velocidad de la luz, lo cual llevó a Maxwell a especular que la luz estaba compuesta por ondas electromagnéticas. La primera persona en demostrar experimentalmente la existencia de ondas electromagnéticas fue Heinrich Hertz al producir en 1887 las primeras ondas de radio en el laboratorio que eran consistentes con la teoría ondulatoria de Maxwell. También logró producir ondas de radio estacionarias reflejándolas de una placa metálica de zinc. Puesto que las ondas electromagnéticas estacionarias son parte importante de ésta discusión, se hará un repaso de las mismas.

Cuando una onda de luz monocromática es reflejada desde una superficie (en el caso de una onda electromagnética, ésta reflexión se dá al incidir la onda sobre una superficie metálica conductora), la onda incidente y la onda reflejada se encuentran, se combinan y se suman para formar ondas estacionarias que oscilan hacia arriba y hacia abajo pero que no tienen dirección de movimiento de traslación. Es lo que se muestra precisamente en el dibujo animado puesto a la izquierda en donde hay una onda senoidal de color amarillo desplazándose hacia la derecha (llamémosle la onda senoidal incidente)  que incide sobre una pared sólida (no mostrada) y otra onda senoidal de color gris claro de la misma frecuencia (la onda reflejada) pero desplazándose hacia la izquierda, sumándose ambas para formar la onda estacionaria de color morado. La onda incidente es reflejada de ésta superficie, incurriendo en un cambio de signo al hacer tal cosa, de modo que la onda total que resulta de la suma aritmética de ambas simplemente “oscila” sin cambiar de lugar. Puede verse que hay puntos en el espacio en donde no hay oscilación alguna, los nodos de la onda estacionaria, y puntos en donde las oscilaciones toman un valor máximo, los antinodos de la onda estacionaria. Para la luz visible, éstas oscilaciones ocurren demasiado rápido como para poder ser detectadas por el ojo, y uno solo ve el brillo “promedio” del campo. Los nodos, carentes de luz, aparecen obscuros, mientras que los antinodos aparecen brillantes. Lo más importante es que la distancia entre nodos sucesivos y antinodos es igual a la mitad de la longitud de onda de la luz, y que la posición absoluta de los nodos y antinodos depende del hecho de que la onda sinusoidal “cambie de signo” al ser reflejada.

Ahora bien, un haz de luz consiste de un campo eléctrico E y un campo magnético B que están en fase el uno con el otro, o sea que cuando el campo eléctrico adquiere su valor máximo el campo magnético también adquiere su valor máximo, y cuando uno es igual a cero el otro también es igual a cero:

Wiener concibió un experimento en el cual un onda electromagnética cae incidiendo normalmente sobre un espejo plano horizontal a lo largo de una coordenada que designamos como z, un espejo que por simplicidad supondremos como un reflector perfecto. Las ondas incidente y reflejada forman una onda estacionaria, habiendo a manera de detector una placa transparente y delgada de film fotográfico (como lo que se usaba antes del advenimiento de las cámaras digitales) puesta arriba de la superficie reflectora formando un pequeño ángulo δ con la superficie reflectora:

Después de haber sido expuesta a la radiación, se observa que la placa fotográfica está obscurecida a intervalos regulares. Puesto que el ángulo δ es pequeño, las distancias perpendiculares de la superficie reflectora a la placa fotográfica son magnificadas por un factor 1/sen(δ).≈.δ a lo largo de la placa, “estirando” el patrón de interferencia, razón por lo cual el espaciamiento entre las bandas obscuras es fácilmente observable y medible con precisión. Las bandas obscurecidas corresponden a regiones en donde el “vector luminoso” posee su mayor luminancia debido a la interferencia constructiva del haz incidente y el haz reflejado.

En la superficie metálica reflectora, el campo eléctrico debe ser igual a cero, ya que los electrones libres en el metal se pueden mover para cancelar el campo. Pero en virtud del comportamiento complementario entre los campos eléctrico E y magnético B, el campo magnético B tiene que tener un máximo en la superficie.

Si E₀ es el vector eléctrico incidente (polarizado en la dirección x) y si E₁ es el vector eléctrico reflejado, y si por simplicidad suponemos un coeficiente de reflexión igual a la unidad, podemos escribir entonces asignando direcciones con un vector unitario e_x (el signo negativo en la expresión para E₁ ocurre porque hay un cambio de fase de π tras la reflexión):

El vector eléctrico total es:

de modo que la parte real del vector eléctrico E es:

Esto es una onda estacionara, con nodos (amplitud mínima) y antinodos (amplitud máxima) dados por:

No se encuentra ningún obscurecimiento en la placa fotográfica en las posiciones de los nodos, y el máximo obscurecimiento se encuentra en las posiciones de los antinodos.

Un análisis semejante para el caso del campo magnético B revela que los nodos y antinodos de B alternan con aquellos de E, con el primer antinodo ocurriendo justo en la superficie de contacto, como resultado del desfasamiento que hay entre el campo eléctrico E y el campo magnético B de la onda estacionaria:

Así pues, el obscurecimiento de la placa fotográfica se encuentra únicamente en los antinodos de E, no se encuentra ninguno en los antinodos de B. Se concluye entonces, como resultado del experimento de Wiener que:

Experimento de Wiener: La porción ópticamente activa de una onda luminosa es el vector eléctrico E.

Esta es la razón del por qué en prácticamente todos los textos de óptica cuántica y óptica no-linear el vector del campo eléctrico E de la onda electromagnética es usado para modelar los fenómenos ondulatorios ignorando el efecto del vector campo magnético B de la misma onda.





Otto Wiener's fame is mostly due to the experiment where he visualized light waves in steady conditions. Although it could be considered equivalent to Hertz's detection of radio waves, their intent differed. Hertz aimed at validating Maxwell's theory, while Wiener's purpose was to determine the plane of vibration of light waves, as they were conceived in mechanical theory. Note that both scientists, like most of their contemporaries, assumed the existence of aether. With the rise of quantum mechanics, the concept of luminous field changed dramatically. Nowadays, quantum optics replaced the problem of visualizing light waves with that of simultaneously measuring their phase and amplitude



If the light sources are”vibrating” in the same phase or if phase difference between them is constant then they emit light waves with same phase or with constant phase difference. Such sources of light are said to be coherent sources and light waves emitted from them are also called coherent waves. In Young’s double slit experiment both slits are coherent sources of light and because of this coherence we get stationary interference of light. The laser light is coherent, because here active centers of laser emit waves in phase by stimulated emission .

Glauber's coherent states have circularly symmetric uncertainty regions, so that the uncertainty relation dictates some minimum noise amplitudes e.g. for the amplitude and phase. A further reduction in, e.g., amplitude noise is possible only by “squeezing” the uncertainty region, reducing its width in the amplitude direction while increasing it in the orthogonal direction, so that the phase uncertainty is increased. Such light is called amplitude-squeezed (see Figure 1, left). Conversely, phase-squeezed light (Figure 1, middle) has decreased phase fluctuations at the expense of increased amplitude fluctuations.


Squeezed light can be generated from light in a coherent state or vacuum state by using certain optical nonlinear interactions. For example, an optical parametric amplifier with a vacuum input can generate a squeezed vacuum with a reduction in the noise of one quadrature components by the order of 10 dB. A lower degree of squeezing in bright amplitude-squeezed light can under some circumstances be obtained with frequency doubling. The Kerr nonlinearity in optical fibers also allows the generation of amplitude-squeezed light. Semiconductor lasers can generate amplitude-squeezed light when operated with a carefully stabilized pump current. Squeezing can also arise from atom-light interactions.


La luz squeezed puede ser generada a partir de luz en un estado coherente (emanada de un láser) o un estado de vacío recurriendo a algunas interacciones ópticas no-lineares. A modo de ejemplo, un Amplificador Optico Paramétrico





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 Conceptual representation of a coherent state of light. X and Y represent the quadratures of the light's electromagnetic field at frequency ν: E(t) = Xcos(2πνt) + Ysin(2πνt), where t is time. The distance OA is the field's amplitude A, and the angle φ is the phase (where the field's peaks and dips lie). The size of the disk represents the uncertainties in the amplitude and phase, ΔA and Δφ, which are equal in value. The field's temporal evolution is shown on the right. b, A squeezed state, in which ΔA is smaller and Δφ larger than their coherent-state equivalents. c, A phase-squeezed state, in which Δφ is smaller and ΔA larger than their coherent-state analogues. d, In a type of field amplification known as phase-insensitive amplification, the total uncertainty (area of the disk) is amplified. e, In phase-sensitive amplification, the total uncertainty remains constant. Corzo et al.1 have applied this form of amplification to faint images.