Aunque podemos visualizar el movimiento de una partícula en un estado coherente desplazándose como paquete de onda Gaussiano sobre un plano bidimensional que tiene las coordenadas (x,y) necesarias para acomodar al oscilador armónico bidimensional, podemos ampliar aún más nuestra visión si una coordenada la asignamos a la medición instantánea de la posición de la partícula, y la otra coordenada la asignamos a la medición del momentum de la partícula, puestas ambas coordenadas sobre un plano bidimensional. Esto es conocido de sobra en Mecánica Clásica como un espacio de fases o espacio de fases o espacio fásico, excepto que aquí lo estamos haciendo tridimensional dándole a la tercera coordenada (la altura) la representación de la distribución normal Gaussiana de la partícula. Si hacemos ésto, tenemos una perspectiva ampliada como la que muestra el gráfico animado que aparece al tope de ésta entrada.
Ésto nos lleva directamente a lo que se conoce como las funciones de de Wigner. La función de Wigner proporciona una formulación de la Mecánica Cuántica que es completamente equivalente a la estandard que se formula usando funciones de onda. En el caso de la mecánica de átomos y moléculas, la función de Wigner es una función que toma valores numéricos reales en el espacio de las fases, depende de las coordenadas y momentos de las partículas, y por lo tanto tiene cierta analogía con la función de distribución de la mecánica estadística clásica, y su mayor interés es que permite obtener de forma natural el límite clásico de la Mecánica Cuántica. Sin embargo, en la Mecánica Cuántica elemental el uso de la función de Wigner es muy complicado y no proporciona base para una interpretación sencilla de los fenómenos porque la función no siempre es positiva, y por lo tanto no puede interpretarse como una distribución de probabilidad en el espacio de las fases. De cualquier modo, la situación es diferente en la óptica cuántica en donde la función de Wigner sí es positiva en la mayor parte de los problemas de interés físico (y hasta se ha formulado la conjetura de que es positiva en todos ellos cuando se tratan sin idealizaciones excesivas). Por otra parte, son muy frecuentes los Hamiltonianos cuadráticos en los operadores de creación y aniquilación de fotones, en cuyo caso la formulación de Wigner resulta ser tan sencilla como la tradicional. Las dos circuntancias favorables (que están relacionadas) se dan en los experimentos con cristales no lineares.
En la formulación usual del campo electromagnético de radiación, éste se representa mediante un desarrollo en ondas planas (o, más en general, modos normales) cuyos coeficientes son operadores de creación y aniquilación de fotones, usualmente la puerta de entrada a la Electrodinámica Cuántica. Los estados de radiación se asocian a matrices (operadores) densidad (algo de ésto se trata con mayor detalle en las entradas sobre "La matriz densidad" que forman parte de ésta obra) que es lo que usualmente se utiliza para la evaluación de las funciones Wigner.
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https://www.iqst.ca/quantech/wigner.php
Consider a classical harmonic oscillator. Its motion can be completely described by a point in the phase space – the two-dimensional space with the particle’s coordinate X and momentum P as dimensions (quadratures) [Fig. 1(a)]. For a large number of identical classical oscillators, one can talk about the phase-space probability distribution – a function W(X, P) which indicates the probability of finding a particle at a certain point in the phase space [Fig. 1(b)]. This function must, of course, be non-negative and normalized: its integral over the entire phase space must be equal to one.
This classical probability distribution has another important property. Consider a series of measurements in which we only measure the oscillator’s coordinate but not the momentum. After a large number of such measurements, one obtains the probability distribution associated with the coordinate – we call this a marginal distribution pr(X). This distribution is related to the phase-space probability density in the following way: eq. In other words, a marginal distribution is just a density projection of W(X, P) onto a plane associated with the given quadrature [Fig 1(d)].
In the quantum world [Fig. 1(c)], the notion of a “certain point in the phase space” does not make sense because the position and the momentum cannot be measured simultaneously (Heisenberg's uncertainty principle). Neither does the phase-space probability density. However, even in the quantum domain one can perform quantum measurements of a single quadrature – be it X, P, or their linear combination. A multiple measurement of a quadrature on a set of identical quantum states will yield a probability density associated with this quadrature, i.e. a marginal distribution. Is there any connection between marginal distributions for different quadratures?
In the classical world this connection exists – through the phase-space probability density as discussed above. The amazing fact is that even in the quantum domain there exists so called phase space quasiprobability density – called the Wigner function – with exactly the same property. A marginal distribution associated with a particular quantum state and a particular quadrature is a projection of the state’s Wigner function upon the relevant vertical plane.
The Wigner function of a given state can be calculated from its density matrix. For each quantum ensemble there exists a Wigner function. Just as the classical phase-space probability density, it is real and normalized. However, the Wigned function has one very important difference from its classical analogue. Because by itself it does not have a meaning of a probability density, it does not have to be positive definite. Un ejemplo de ellos son los
https://es.wikipedia.org/wiki/Estado_de_Fock
estados de Fock de los osciladores armónicos, los estados de energía bien definida. Sin importar en dónde esté situada la energía, el espacio de fases tiene regiones en donde la función de Wigner toma valores negativos.
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Las funciones de Wigner
Funciones Wigner para pedestres:
http://www.stat.physik.uni-potsdam.de/~pikovsky/teaching/stud_seminar/Wigner_function.pdf
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http://www.stat.physik.uni-potsdam.de/~pikovsky/teaching/stud_seminar/Wigner_function.pdf
Wigner functions and Weyl transforms of operators offer a formulation of quantum mechanics that is equivalent to the standard approach given by the Schrödinger equation. We give a short introduction and emphasize features that give insight into the nature of quantum mechanics and its
relation to classical physics. A careful discussion of the classical limit and its difficulties is also given. The discussion is self-contained and includes complete derivations of the results presented.
In the standard formulation of quantum mechanics the probability density xin position space x is given by the
square of the magnitude of the wave function, x= x 2. Thus knowing xit is easy to visualize the distribution
x. Obtaining the distribution in momentum p is also straightforward. The wave function in p is found by
p= 1
where all integrations are understood to be over the entire
space. The quantity p 2 gives the probability density in
the momentum variable. Although straightforward, the momentum
distribution is difficult to visualize if one only has
x. It would be desirable to have a function that displays
the probability distribution simultaneously in the x and p
variables. The Wigner function, introduced by Wigner in
1932,1 does just that. Wigner’s original goal was to find
quantum corrections to classical statistical mechanics where
the Boltzmann factors contain energies which in turn are
expressed as functions of both x and p. As is well known
from the Heisenberg uncertainty relation, there are constraints
on this distribution and thus on the Wigner function.
Another reason for a representation of a quantum state in
phase space is to examine the connection between quantum
and classical mechanics. Quantum mechanics inherently
deals with probabilities, while classical mechanics deals with
trajectories in phase space. If we wish to compare the two,
we can consider ensembles of trajectories in phase space for
the classical case and density distributions in x and p or
Wigner functions for the quantum case.
Given the wave function the standard way to obtain the
expectation value of a quantity A is by
A
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Para el oscilador armónico y para la partícula libre la evolución temporal de la función de onda de ambos sistemas es algo relativamente simple de manejar bajo la formulación equivalente que emplea las funciones de Wigner, mientras que las características de los mismos sistemas están algo escondidas bajo el esquema de Schrödinger. Pero más importante, y en lo que toca a estados coherentes, la metodología Wigner–Weyl incluye de modo casi natural los estados mezclados mientras que la ecuación de Schrödinger escrita en términos de la función de onda en realidad está limitada a la descripción de estados puros. La metodología Wigner-Weyl transfiere la descripción de un estado puro a uno de estados mezclados, además de que la evolución temporal de la función de Wigner puede ser formulada de una manera que nos ayuda a entender el límite clásico a la Mecánica Cuántica (si se trata de obtener el límite clásico a la Mecánica Cuántica basándose en la ecuación de Schrödinger y tomando el límite h-0 con la esperanza de obtener a partir de la Mecánica Cuántica los resultados que nos son conocidos en la física clásica que se aplica a los objetos macroscópicos, terminaríamos concluyendo que hay que descartar el término en el Hamiltoniano que involucra a la energía cinética).
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No basta con calcular |Ψ(x)|2 para explorar la relación que debe de existir entre la dinámica clásica basada en las leyes de Newton y la física cuántica, lo ideal sería poder trabajar en el espacio de las fases en el que mediante alguna herramienta como los mapas de Poincaré se pueda investigar simultáneamente la dinámica conjunta de la posición q y el momentum p de una partícula. Desafortunadamente, es imposible usar ésta herramienta en virtud del principio de incertidumbre de Heisenberg que impide poder precisar simultáneamente q y p. Sin embargo, Eugene P. Wigner descubrió una función general W que dá algo parecido a una distribución de probabilidad en el espacio de fases, la cual por no ser una verdadera distribución de probabilidad en el sentido formal y estricto de la palabra es conocida como una cuasi-distribución de probabilidad (también llamada la función de Wigner o la distribución de Wigner–Ville en memoria de Eugene Wigner y Jean-André Ville), que dá algo parecido a una distribución de fases. La función Wigner genérica se define como:
El principal inconveniente de la función W de Wigner es que en la gran mayoría de los casos puede tomar valores negativos, lo cual es un inconveniente al tratar de darle una interpretación física en el mundo real a las cantidades negativas, ya que la probabilidad usualmente asignada a la ocurrencia de fenómenos cuánticos va de cero a 1 en funciones normalizadas, pero una probabilidad negativa no se presta a una fácil interpretación en el mundo real. Otro inconveniente es que la función W oscila violentamente conforme a la constante de Planck ħ se le va dando un valor más y más pequeño acercándose a cero (puesto que en el mundo macroscópico la constante de Planck tiene un valor extraordinariamente pequeño, ésto es precisamente lo que impida que los curiosos e intrigantes fenómenos cuánticos se puedan manifestar en la dinámica de objetos relativamente grandes, y uno supondría que el tomar tal límite acercando ħ a cero en principio debería transformar a la Mecánica Cuántica en la dinámica clásica, algo que usualmente no ocurre). A causa de éstos inconvenientes, a menudo se usa una función suavizada, la distribución Q de Husimi (así llamada en referencia a su aplicación al campo de la óptica Quántica). Un vistazo a la literatura disponible sobre el tema revela de inmediato que la representación Q de Husimi tiene aplicaciones importantes precisamente en el tema de los estados coherentes. A continuación se muestra el esquema general de la distribución Q de Husimi, la cual toma esencialmente el esquema de la función de Wigner y lo amplía de una manera que a primera vista parece ser una complicación en lugar de una simplificación:
en donde w es la anchura de la incertidumbre en la posición q. Aunque no sea evidente a primera vista, se cumple Hu.≥.0, lo cual remueve las objecciones al empleo de otras cuasi-distribuciones alternas en las cuales también se generan valores negativos para la probabilidad. El mismo Roy Glauber elaboró su propia cuasi-distribución (la cual le ganó el Premio Nóbel) hoy conocida como la distribución Q Glauber-Sudarshan, aunque el principal obstáculo que enfrentó ésta cuasi-distribución de probabilidad es que al igual que la función W de Wigner no siempre es positiva, lo cual puede presentar serios problemas en la interpretación de fenómenos cuánticos propios del mundo real. De cualquier modo, lo verdaderamente importante es que la realidad de los estados coherentes que nadie pone en duda ha sido y seguramente seguirá siendo campo fértil para el desarrollo de cuasi-distribuciones en el esfuerzo por tratar de conciliar la física cuántica con la dinámica de los objetos macroscópicos.
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Podemos interpretar a la función de Wigner W(Q,P), una función de la posición Q y del momentum P, como una función que nos puede describir qué tan “cuántico” es un pulso solitario de luz monocromática. Las figuras de arriba nos muestran la progresión de lo continuo hacia lo cuántico a partir de un estado coherente de incertidumbre mínima (A), pasando posteriormente por un estado “apachurrado” (B) o estado squeezed (mencionado al final de la entrada “Estados coherentes” que forma parte de ésta obra), al estado de un solo fotón (C) y al “gato de Schrodinger” (D). Las proyecciones o “sombras” de la función de Wigner mostradas en las dos paredes verticales (de color amarillo) en cada figura son las distribuciones de probabilidad Ψ2 de las variables cuánticas continuas para la posición Q y el momentum P. La distribución Wigner que proyecta tales sombras es una función Gaussiana para los casos (A) y (B), pero tiene el desventura de tomar valores negativos para los estados fuertemente cuánticos (C) y (D). Podemos interpretar una probabilidad Ψ2 igual a 0.25 en cierta región del espacio como una probabilidad de encontrar en promedio a una partícula la cuarta parte del tiempo en ésa región del espacio. ¿Pero qué interpretación vamos a darle a una probabilidad negativa, digamos de menos 0.35? Lo primero que se viene a la mente es la posibilidad de que el concepto teórico propuesto por Wigner está fundamentalmente errado, con una mancha negra imposible de remover por lo deficiente del concepto en su quintaesencia. Sin embargo, también se viene a la mente es la posibilidad de efectuar un experimento de laboratorio para vér qué es lo que sucede o encontramos con una partícula que se encuentra bajo una condición de probabilidad negativa, y sin duda alguna si el concepto de las funciones de Wigner no está errado esperaríamos encontrar algo extraordinariamente sorprendente como mucho de lo que ocurre con la caja de sorpresas que es la Mecánica Cuántica. Una dificultad para llevar a cabo el experimento es que éstas características negativas en las distribuciones de probabilidad se esfuman rápidamente en la presencia de lo que llamamos decoherencia. Sin embargo, el experimento no es imposible de realizar, y tal y como se podría haber anticipado, los resultados no son menos que sorprendentes. En el artículo “Experimental quantum teleportation” publicado el 11 de diciembre de 1997 en el número 390 de la revista Nature, el equipo conformado por Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Klaus Mattle, Manfred Eibl, Harald Weinfurter y Anton Zeilinger reportó la primera verificación experimental de lo que hoy se conoce como teleportación cuántica. Ya previamente Charles Bennett y colaboradores, en el artículo “Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels” publicado en 1993 en el Physical Review Letters, habían argumentado teóricamente que la información cuántica pude transmitirse entre dos puntos distantes utilizando tan solo el principio de entrelazado y un canal de comunicación clásico. Se trata de algo parecido a lo que Einstein llamó “una espantosa acción a distancia”: pares de partículas pueden estar inseparablemente vinculadas, de manera que el estado de una podría provenir de la otra, sin importar lo lejos que se encuentren rebasando las limitaciones impuestas por la finita velocidad de la luz y la Teoría de la Relatividad, un proceso que se puede utilizar para ‘transportar’ al instante información entre las partículas a distancias teóricamente infinitas. Exactamente por eso, Einstein no podía aceptar la idea, porque viola la ley de la relatividad que estipula que nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz. Sin embargo, hoy en día Einstein seguramente se quedaría con la boca abierta al serle mostrada la evidencia experimental de que la teleportación cuántica es una realidad, a grado tal de que en la comunidad científica hay una especie de competencia para ver quiénes logran obtener el fenómeno a la mayor distancia posible. El satélite chino Micius, por ejemplo, lanzado en agosto de 2016 por el proyecto internacional conocido como Experimentos Cuánticos a Escala Espacial (QUESS, por sus siglas en inglés ) en experimentos cuánticos a escala espacial en lo que al momento del lanzamiento del satélite fue considerado como el primer satélite mundial para comunicaciones cuánticas, logró transmitir con éxito información a una distancia de 1.200 kilómetros en junio de 2017 utilizando fotones entrelazados, rompiendo así el récord de teleportación cuántica de 100 kilómetros establecido dos años antes. Estos resultados experimentales revelan un grado extraordinario de control experimental sobre objetos cuánticos frágiles.
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